טרנספורמציה לינארית של מטריצות
הטרנספורמציה הליניארית של מטריצות הן פעולות ליניאריות באמצעות מטריצות שמשנות את הממד הראשוני של וקטור נתון.
במילים אחרות, אנו יכולים לשנות את ממד הווקטור על ידי הכפלתו בכל מטריצה.
טרנספורמציות לינאריות הן הבסיס לווקטורים ולערכים עצמיים של מטריצה מכיוון שהם תלויים באופן לינארי זה בזה.
מאמרים מומלצים: פעולות עם מטריצות, וקטורים וערכים עצמיים.
מתמטית
אנו מגדירים מטריצהג כל אחד מממד 3 × 2 כפול וקטור V של ממדn = 2 כזה ש- V = (v1, נ2).
מאיזה ממד יהיה וקטור התוצאה?
הווקטור הנובע מתוצר המטריצהג3×2עם וקטורו2×1יהיה וקטור V 'חדש של ממד 3.
שינוי זה בממד הווקטור נובע מהטרנספורמציה הליניארית דרך המטריצה ג.
דוגמא מעשית
בהתחשב במטריצה המרובעתר עם ממד 2 × 2 והווקטורו של ממד 2.
טרנספורמציה לינארית של ממד הווקטורו זה:
שם הממד הראשוני של הווקטור ו היה 2 × 1 ועכשיו הממד הסופי של הווקטור אתה רואה3 × 1. שינוי מימד זה מושג על ידי הכפלת המטריצה ר.
האם ניתן לייצג טרנספורמציות לינאריות אלה בצורה גרפית? ובכן, כמובן!
נציג את וקטור התוצאה V 'במישור.
לאחר מכן:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
בְּצוּרָה גְרָפִית
Eigenvectors באמצעות ייצוג גרפי
כיצד נוכל לקבוע כי וקטור הוא ווקטור עצמי של מטריצה נתונה רק על ידי התבוננות בגרף?
אנו מגדירים את המטריצהד של ממד 2 × 2:
האם הווקטורים הם v1= (1,0) ו- v2= (2,4) ווקטורים עצמיים של המטריצה ד?
תהליך
1. נתחיל עם הווקטור הראשון v1. אנו מבצעים את השינוי הקווי הקודם:
אז אם הווקטור v1 הוא הווקטור העצמי של המטריצה ד, הווקטור שהתקבל v1'וקטור v1הם צריכים להיות שייכים לאותו קו.
אנו מייצגים את נ1 = (1,0) ו- v1’ = (3,0).
מכיוון ששניהם נ1כמו וי1שייך לאותה שורה, נ1 הוא ווקטור עצמי של המטריצה ד.
מתמטית, יש קבועח(ערך עצמי) כזה ש:
2. אנו ממשיכים עם הווקטור השני v2. אנו חוזרים על השינוי הקווי הקודם:
אז אם הווקטור v2 הוא הווקטור העצמי של המטריצה ד, הווקטור שהתקבל v2והווקטור v2 הם צריכים להיות שייכים לאותה שורה (כמו הגרף שלמעלה).
אנו מייצגים את נ2 = (2,4) ו- v2’ = (2,24).
מאז v2 ו- V.2אל תשתייך לאותו קו, נ2 אינו ווקטור עצמי של המטריצה ד.
מתמטית, אין קבועח(ערך עצמי) כזה ש:
