Eigenvectors הם וקטורים מוכפלים בערך עצמי בתמורות הליניאריות של מטריצה. הערכים העצמיים הם קבועים המכפילים את הווקטורים העצמיים בתמורות הליניאריות של מטריצה.
במילים אחרות, הווקטורים העצמיים מתרגמים את המידע מהמטריצה המקורית לכפל ערכים וקבוע. הערכים העצמיים הם קבוע זה שמכפיל את הווקטורים העצמיים ומשתתף בטרנספורמציה הליניארית של המטריצה המקורית.
למרות ששמו בספרדית הוא מאוד תיאורי, באנגלית מכנים את הווקטורים העצמיים ווקטורים עצמיים והערכים העצמיים, ערכים עצמיים.
מאמרים מומלצים: טיפולוגיות מטריצות, מטריצה הפוכה, קובעת מטריצה.
וקטורים משלו
הווקטורים העצמיים הם קבוצות של אלמנטים שעל ידי הכפלת קבוע כלשהו, הם שקולים לריבוי המטריצה המקורית ולקבוצות האלמנטים.
מתמטית, ווקטור עצמיו= (v1, …, V.נ) של מטריצה מרובעתש הוא כל וקטורו העונה על הביטוי הבא לכל קבועח:
QV = hV
ערכים משלו
הקבוע ח הוא הערך העצמי השייך לווקטור העצמי ו.
הערכים העצמיים הם השורשים האמיתיים (שורשים שיש להם מספרים ממשיים כפתרון) שאנו מוצאים דרך המשוואה האופיינית.
מאפייני ערכים עצמיים
- לכל ערך עצמי יש ווקטורים עצמיים אינסופיים מכיוון שיש מספרים ממשיים אינסופיים שיכולים להיות חלק מכל ווקטור עצמי.
- הם סקלרים, הם יכולים להיות מספרים מורכבים (לא אמיתיים) והם יכולים להיות זהים (יותר משווי עצמי שווה אחד).
- ישנם ערכים עצמיים רבים ככל שיש מספר שורות (M) או עמודות (נ) יש את המטריצה המקורית.
וקטורים וערכים עצמיים
קיים קשר תלות ליניארי בין הווקטורים לערכים עצמיים מכיוון שהערכים העצמיים מכפילים את הווקטורים העצמיים.
מתמטית
אם V הוא ווקטור עצמי של המטריצהז י ח הוא הערך העצמי של המטריצה ז, לאחר מכןhV הוא שילוב לינארי בין וקטורים לערכים עצמיים.
פונקציה אופיינית
הפונקציה האופיינית משמשת למציאת הערכים העצמיים של מטריצהז כיכר.
מתמטית
(Z - hl) V = 0
איפה זיח מוגדרים לעיל ואני היא מטריצת הזהות.
תנאים
כדי למצוא וקטורים וערכים עצמיים של מטריצה, עליה להיות מרוצה:
- מַטרִיצָה ז ריבוע: מספר השורות (M) זהה למספר העמודות (נ).
- מַטרִיצָה ז אמיתי. לרוב המטריצות המשמשות במימון שורשים אמיתיים. איזה יתרון יש בשימוש בשורשים אמיתיים? ובכן, הערכים העצמיים של המטריצה לעולם לא יהיו מספרים מורכבים, וזה, חברים, פותר את חיינו הרבה.
- מטריקס (ז- היי) לא הפיך: דטרמיננט = 0. מצב זה עוזר לנו למצוא תמיד ווקטורים עצמיים שאינם אפס. אם מצאנו ווקטורים עצמיים שווים ל- 0, הרי שהכפל בין ערכים לווקטורים עצמיים יהיה אפס.
דוגמא מעשית
אנו מניחים כי אנו רוצים למצוא את הווקטורים והערכים העצמיים של aז מטריצת ממד 2 × 2:
1. אנו מחליפים את המטריצה ז יאני במשוואה האופיינית:
2. אנו מתקנים את הגורמים:
3. אנו מכפילים את האלמנטים כאילו חיפשנו את הקובע של המטריצה.
4. הפתרון למשוואה ריבועית זו הוא h = 2 ו- h = 5. שני ערכים עצמיים מכיוון שמספר השורות או העמודות במטריצה ז הוא 2. אז מצאנו את הערכים העצמיים של המטריצה ז אשר בתורם הופכים את הקובע 0.
5. כדי למצוא את הווקטורים העצמיים נצטרך לפתור:
6. לדוגמא, (v1, נ2) = (1,1) עבור h = 2 ו- (v1, נ2) = (- 1,2) עבור h = 5:
