התפלגות ברנולי היא מודל תיאורטי המשמש לייצוג משתנה אקראי בדיד שיכול להסתיים רק בשתי תוצאות בלעדיות.
מאמרים מומלצים: שטח לדוגמא, הפצת ברנולי וחוק לפלס.
דוגמא לברנולי
אנו מניחים שאנחנו אוהדים מאוד של רוכב בתחרות אופניים בה רק שני רוכבים מתחרים. אנחנו רוצים להמר שהמתווך יזכה.
כך שאם תזכו זו תהיה תוצאה "הצלחה" ואם תפסידו תהיה תוצאה "ללא הצלחה". באופן סכמטי:
התייחסנו לדוגמא זו כאל מקרה דיכוטומי. כלומר, יש רק שתי תוצאות אפשריות (כדי לפשט את המצב). בספרים התיאורטיים אנו מוצאים את הדוגמה האופיינית לזריקת מטבע שאינו מרומה המורכב מהשגת ראשים או זנבות. מכיוון שאין יותר תוצאות אפשריות, השגת הפרמטר p הופכת ליסודית.
בדוגמת המתווך שלנו, היינו יכולים גם לשקול "לא מוצלח" כקבלת כל תפקיד שאינו המקום הראשון. ואז הפרמטר p ישתנה וזה יהיה מספר הפעמים בו ניתן לחלק את המתווך תחילה במספר הפוזיציות הכולל. באופן סכמטי:
כאן הפרמטר p לא נראה ברור מאוד בהתחלה, אבל זה רק עניין של יישום החוק של לפלס.
אנו מניחים שיש רק 10 עמדות בהן הרץ יכול להשיג רק אחת מהן במרוץ. לאחר מכן,
תרגיל
חשב את פונקציית חלוקת הרצים בתחרות 10 רצים.
פונקציית חלוקת ברנולי
- גִישָׁה.
אנו מגדירים את שני הערכים שמשתנה אקראי העוקב אחרי התפלגות ברנולי יכול לקחת.
Z = 1 אם הרץ מנצח בתחרות = מקום 1 = הצלחה.
Z = 0 אם הרץ מאבד את התחרות = לא מקום 1 = לא מוצלח.
- הקצאה וחישוב הסתברויות.
לאחר שהגדרנו את ערכי Z, אנו מקצים את ההסתברויות לתוצאת הניסוי:
למעלה בדוגמה כבר חישבנו את ההסתברויות באמצעות החוק של לפלס. התוצאה הייתה ש- p = 1/10 ו- (1-p) = 0.9.
- חישוב פונקציית ההתפלגות.
כעת עלינו רק להחליף את המשתנים הקודמים בנוסחה של פונקציית ההתפלגות.
אנו יכולים לראות כי הביטויים הקודמים יכולים לבוא לידי ביטוי גם באופן זה:
אנו רואים כי שימוש בדרך זו או אחרת, ההסתברות להצלחה, כלומר ההסתברות שהרץ ינצח בתחרות תהיה תמיד p = 1/10 וההסתברות לא הצלחה, כלומר ההסתברות שהוא מאבד. התחרות גם תמיד תהיה (1-p) = 9/10.
אז הרץ עוקב אחר התפלגות ברנולי עם הסתברות p = 0.1:
