מטריצה סימטרית היא מטריצה בסדר n עם אותו מספר שורות ועמודים כאשר המטריצה המועברת שלה שווה למטריצה המקורית.
במילים אחרות, מטריצה סימטרית היא מטריצה מרובעת והיא זהה למטריצה לאחר שהחליפה שורות בעמודות ועמודות בשורות.
דרישות
כדי שכל מטריצה תהיה מטריצה סימטרית, עליה לעמוד במגבלות הבאות:
ניתנת מטריצה סימטרית פ של סדר n,
- להיות מטריצה מרובעת.
מספר השורות (n) צריך להיות זהה למספר העמודות (m). כלומר, סדר המטריצה צריך להיות n בהתחשב בכך ש- n = m.
- המטריצה המקורית צריכה להיות שווה לזו מטריצה שהועברה.
הפגנה:
נכסים
- המטריצה הצמודה של מטריצה סימטרית היא גם מטריצה סימטרית.
הפגנה:
- תוספת או חיסור של שתי מטריצות סימטריות מביאות למטריצה סימטרית נוספת.
הפגנה:
ניתן שתי מטריצות סימטריות פ י ט בסדר 3, אנו מקבלים מטריצה סימטרית נוספת ס מהסכום.
מדוע קוראים לזה מטריצה סימטרית?
תכונת הסימטריה ניתנת על ידי האלמנטים סביב האלכסון הראשי. מכיוון שמטריצה מרובעת היא מטריצה סימטרית, היא תמיד תהיה עם אותו מספר אלמנטים מעל ומתחת לאלכסון הראשי. אלמנטים אלה זהים באופן סימטרי. כלומר, האלכסון הראשי מתנהג כמו מראה.
הוכחת סימטריה ועיוותה של מטריצה
מטריצה סימטרית
האות ד מייצג את האלמנטים של האלכסון הראשי. האותיות האחרות מייצגות כל מספר אמיתי. אנו יכולים לראות שהאלכסון הראשי פועל כמו מראה: הוא משקף את האלמנטים משני הצדדים. במילים אחרות, כאשר האלמנטים משני צידי האלכסון שווים סימטרית, אנו אומרים שהמטריצה פ היא מטריצה סימטרית.
מטריצה לא סימטרית
מַטרִיצָה איקס זו אינה מטריצה סימטרית מכיוון שהיא אינה מטריצה מרובעת והמטריצה המועברת שלה שונה מהמטריצה המקורית. בנוסף, אין לו גם אלכסון ראשי.
מטריצת זהות