הפונקציה האקספוננציאלית היא הבסיס של הרכבה מתמשכת, שהיא תוצאה של הגדלת אינסוף (כאשר p נוטה לאינסוף) את תדירות חישוב הריבית בתרכובת מורכבת.
במילים אחרות, הפונקציה האקספוננציאלית היא תרכובת מורכבת שבה פרקי הזמן בין חישובי הריבית הם אינסופיים (קטנים מאוד).
הנוסחה לפונקציה האקספוננציאלית היא:
הרכבה רציפה יכולה לבוא לידי ביטוי כ-
קווי דמיון סבירים בין היוון רציף לפונקציה האקספוננציאלית, נכון?
אנו מגדירים את המשתנים של היוון רציף:
- גt + 1: הון בזמן t + 1 (מאוחר יותר).
- גt: הון בזמן t (נוכחי).
- אניt: ריבית בזמן t.
- p: תדירות הרכבה או מחזוריות.
- t: זמן.
יישומים
במימון אנו מוצאים לעתים קרובות את הפונקציה האקספוננציאלית בנוסחה להוון רציף של הכנסה עתידית ובכמה רגרסיות אקונומטריות.
בכלכלה זה לא כל כך פופולרי מכיוון שרוב המודלים המיקרו-כלכליים והמקרו-כלכליים מניחים תשואות שוליות הולכות ופוחתות על גורמי הייצור שלהם. כתוצאה מכך, הם מניחים כי הגורמים עוקבים אחר תשואות לוגריתמיות ולכן הם חוזרים בניגוד לפונקציה האקספוננציאלית.
דוגמה לפונקציה אקספוננציאלית
אנו מניחים שאנחנו משקיעים אמריקאים שרוצים לבנות מדרון סקי בפיקו בוליבאר, ונצואלה. ההשקעה הראשונית היא 100 מיליון דולר בריבית שנתית של 100%. למשקיע זה יש כוח משא ומתן מספיק כדי לקבוע את מחזוריות חישוב הריבית על השקעתו.
איזו אלטרנטיבה יעדיף המשקיע האמריקאי?
כדי לענות על השאלה נצטרך לחשב את ההון בזמן t + 1 (גt + 1) שהמשקיע יקבל.
מידע זמין:
גt: 100 מיליון דולר
אניt: 100%
t: 1 (שנתי)
גt + 1: ?
| חֲלוּפָה | ל | ב | ג | ד | AND | F |
| תְקוּפָתִיוּת | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
אנו מחליפים את המידע שיש לנו בשתי הנוסחאות (הפונקציה תפוסה באותיות רישיות)
אנו מטפלים בנתונים המונעים את ה- MM.
אנו מחלקים (גt + 1) לכל 100 בפונקציה האקספוננציאלית לחיסול השפעת ההון. באופן זה, אנו מקדימים את הפסיק בשני מקומות. כתוצאה מכך, השפעה זו ניכרת בעמודות התוצאות הבאות.
תוצאות:
| נוּסחָה | הרכבה רציפה | פונקציה מעריכית |
| מחזוריות (p) או (n) | גt + 1 | גt + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
כאשר n או p נוטים לאינסוף, במקרה זה מ 10,000,000, אנו יכולים לראות שהערכים מתכנסים למספר ספציפי. עבור הרכבה רציפה הוא 271.8281 ועבור פונקציה מעריכית זה 2.718281. שתי הסדרות מתכנסות ו.
התגובה לתרגיל נפתרה
אז באיזו אלטרנטיבה יבחר המשקיע האמריקאי בסופו של דבר, אם מתוך מספר תקופות מחזור ההון ב- t + 1 (Ct + 1) דוכנים בערך מסוים?
- אם משקיע זה מתייחס להון כמשתנה נפרד, אז הוא יבחר בחלופה D. מכיוון שמחלופה C, הון ב- t + 1 (Ct + 1) מתכנס ל- 271 מיליון דולר.
- אם משקיע זה מתייחס להון כמשתנה רציף, אז הוא יבחר בחלופה עם יותר תקופות. במקרה זה, חלופה F. גם אם בסופו של דבר היא מתכנסת לערך, המשקיע לוקח בחשבון את כל העשרונים.
התכנסות זו מרמזת על כך שהון ב- t + 1 (Ct + 1), המחושב לפי נוסחת ההרכב הרציף או הפונקציה האקספוננציאלית, עוקב אחר תשואות שוליות הולכות ופוחתות. במילים אחרות, (גt + 1) יכול לבוא לידי ביטוי כפונקציה לוגריתמית.
באופן סכמטי:
- מחזוריות = פונקציה מעריכית.
- הון ל t + 1 (גt + 1) = פונקציה לוגריתמית.
ייצוג גרפי
בגרף ניתן לראות כיצד הפונקציה האקספוננציאלית, שהיא רציפה לאין ערוך, צומחת הרבה יותר מהר מהריבית המוגבלת. כאשר אנו מדברים על היוון רציף אנו מתייחסים לסוג של היוון מורכב אך בעל מחזוריות רבה יותר, שכן בפועל אי אפשר לנצל אינטרסים לאינסוף. כלומר, אנחנו לא יכולים לנצל כל שנייה.