גיאומטריה פרקטלית היא ענף הגיאומטריה החוקר פרקטלים. אלה אובייקטים מורכבים, עם מבנה שחוזר על עצמו כשאנחנו מתבוננים בו בקנה מידה שונה.
שברים, במילים אחרות, מורכבים מחלקים הדומים לכלל והם מבנים לא סדירים. בואו נחשוב על ראש ברוקולי, שכאשר אנו מפצלים אותו מחולק למספר ברוקולי קטנים יותר.
גיאומטריה פרקטלית נולדה מהצורך בקירוב טוב יותר למציאות, מכיוון שגיאומטריית המישור והגיאומטריה של החלל חוקרים דמויות וגופים שכמעט ולא אנו מוצאים בטבע.
קחו בחשבון שהרים אינם קונוסים וכי אפילו בפירמידות של מצרים, אם נסתכל עליהם מקרוב, יהיו אי סדרים מסוימים על פני השטח שלהם. פגמים אלה נקראים באיכות החספוס, וזה מאפיין שמוסיף גיאומטריה פרקטלית לאובייקטים, שכבר אין להם רק היקף, שטח ונפח.
מקור הגיאומטריה הפרקטלית
מקורו של הגיאומטריה הפרקטלית הוא החלוץ על ידי המתמטיקאי בנואה מנדלברוט, כמו גם עבודתו הספרותית הגדולה ביותר: "Fractal Geometry of Nature", שפורסמה בשנת 1982.
המילה פרקטל מגיעה מהמילה הלטינית "פרקטוס", שפירושה שבור או שבור, ונטבע על ידי מנדלברוט בשנת 1975.
ראוי להזכיר שלמרות שמנדלברוט רשמי את לימודי כלכלת פרקטלים הוא לא היה הראשון שהבחין בקיומם של פרקטלים בטבע. לדוגמא, אם נסתכל על יצירתו של הצייר היפני הידוע קצושיקה הוקוסאי, נראה כי המושג הזה מיושם (ומנדלברוט עצמו הזכיר זאת בראיון). לדוגמא, בציור "הגל הגדול" אנו מתבוננים כיצד בתוך הגל ישנם גלים קטנים אחרים.
מאפיינים של פרקטל
המאפיינים העיקריים של פרקטל הם הבאים:
- דמיון עצמי: הכוונה היא למה שכבר הזכרנו קודם. אם נסתכל על חלק מהפרקטל בקנה מידה גדול יותר (מקרוב יותר) הוא ייראה זהה לכל האובייקט. כלומר, החלק דומה לכלל, אם כי זה לא תמיד נכון בדיוק. לדוגמא, בואו נדמיין מעוין שמורכב מעוינים קטנים רבים. אף על פי שגודל מעויינים אלה משתנה מעט, זה יהיה פרקטל.
- ממד השבר אינו שווה לממד הטופולוגי: כדי להסביר את הממד הטופולוגי, בואו נדמיין שיש לנו מישור המחולק לרשתות, כמו רשת. אז אני מצייר קו שעובר דרך 2 רשתות. אם הייתי מחלק את כל רשתות הרשת לשניים, הקו יעבור דרך 4 רשתות. כלומר, הוא מוכפל ב- 2, השווה לגורם ההפחתה (2) שהועלה ל- 1 (2 = 21), שכדאי ליתר, הוא מספר הממדים של הקו. עכשיו, אם יש לנו מצולע, דמות דו מימדית, משהו דומה קורה. לדוגמא, אם יש לנו ריבוע המשתרע על ארבעה רשתות ונחיל שוב גורם הפחתה של 2, הריבוע ישתרע על פני 16 רשתות. כלומר, מספר הרשתות (4) מוכפל ב- 4, שהוא 2 מורם ל -2 (2 = 22), המעריך הוא מספר הממדים בריבוע. עם זאת, כל האמור לעיל אינו נכון בפרקטלים.
- לא ניתן להבחין בהם בשום שלב: פירוש הדבר במונחים מתמטיים כי לא ניתן לחשב את הנגזרת של הפונקציה המיוצגת. במונחים חזותיים, המשמעות היא שהגרף אינו רציף, אך בעל פסגות, כך שלא ניתן לבצע את הגזירה.
יישום גיאומטריה פרקטאלית
ניתן ליישם גיאומטריה פרקטלית בתחומים שונים. לדוגמה, בשנת 1940, לואיס פריי ריצ'רדסון הבחין כי גבולות שונים בין מדינה למדינה משתנים בהתאם לסולם המדידה. כלומר, אם נמדוד קו מתאר גיאוגרפי, התוצאה תהיה שונה בהתאם לאורך הסרגל בו משתמשים. זה שימש כנקודת התייחסות עבור מנדלברוט במאמרו משנת 1967, שפורסם בכתב העת Science: "כמה זמן חוף בריטניה הוא?"
ניתן להסביר, אם ניקח בחשבון שהשטחים הגיאוגרפיים הם פרקטלים, וכפי שאנו רואים אותם בקנה מידה גדול יותר, אנו רואים אי סדרים נוספים.
יישום נוסף של הגיאומטריה הפרקטאלית הוא ניתוח התנועות והתנועות הסייסמיות בשוק המניות.
בנוסף, עלינו להכיר בכך שפרקטלים שימשו השראה לאמנים כמו הוקוסה הנ"ל, ויש לנו גם המקרה של ג'קסון פולוק.