קבוצות סופיות - מה זה, הגדרה ומושג
קבוצות סופיות הן אלו שהקרדינליות, או מספר האלמנטים בה, שווה למספר טבעי.
סט סופי, במילים אחרות, הוא כזה שיש בו מספר אלמנטים שניתן לספור. להיות ההפך מסט אינסופי, שבו האלמנטים לא ניתנים לספור.
דרך רשמית יותר לבטא כי קבוצה סופית היא שניתן לשייך את האלמנטים של אותה קבוצה, אותה נקרא M, עם אלמנטים של הסט (1, 2, …, n), אותם נקרא N. זהו רצף של מספרים שלמים כאשר כל אלמנט שווה לזה הקודם, בתוספת היחידה.
לפיכך, ניתן לזווג את האלמנטים של M ו- N בזה אחר זה (שמכונה התכתבויות אחד לאחד), מבלי להשאיר שום אלמנט משתי המערכות.
נאמר גם כי M ו- N הם שיווי משקל, כלומר, עבור כל יסוד M יש אלמנט של N.
יתר על כן, המספר n (האלמנט הגדול ביותר בקבוצה N) עולה בקנה אחד עם מספר האלמנטים של M, כאשר n הוא הקרדינל, הקרדינליות או הכוח של N, וסימונו הוא קלף (N), | N | או #N.
דוגמאות מוגדרות סופיות
כמה דוגמאות לסטים סופיים יהיו:
- מספרים שלמים מוזרים הגדולים מ -13 ופחות מ -29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- אוקיינוסים של כדור הארץ: האטלנטי, האוקיאנוס השקט, ההודי, הארקטי, אנטארקטיקה
- רשימת עשרים התלמידים המשתייכים לכיתה.
מאפיינים של סטים סופיים
בין המאפיינים העיקריים של קבוצות סופיות, הם אלה שנחשפים להלן:
- איחוד של שתי קבוצות סופיות או יותר מביא לקבוצה סופית.
- הצומת (האלמנטים המשותפים) של סט סופי עם קבוצה אחת או יותר הוא סופי.
- גם קבוצת המשנה של סט סופי סופית.
- תת המשנה C של קבוצה סופית M מאופיינת בכך שיש מספר קטן יותר של אלמנטים מ- M. כלומר, נכון כי: אם C ⊊ M ו- | M | = n ואז | C | <n (הסמל ⊊ פירושו ש- C היא תת קבוצה נכונה של M. כלומר, כל האלמנטים של C כלולים ב- M, אך יש לפחות אלמנט אחד של M שאינו ב- C).
- מערך הכוח של קבוצה סופית M, הכוללת את כל קבוצות המשנה שיכולות להיווצר עם האלמנטים של הסט M (כולל הסט הריק או ∅), הוא סופי ויש לו 2נ אלמנטים, כאשר n הוא מספר האלמנטים ב- M. לדוגמא, אם יש לנו:
(1, 3, 41)
ערכת הכוח תהיה: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
כפי שאנו רואים, למערכת הכוח של קבוצה סופית של שלושה אלמנטים יש שמונה (23) אלמנטים.
