מודולוס של וקטור ומשפט פיתגורס

המודול של הווקטור הוא אורכו של קטע המכוון בחלל הנקבע על ידי שתי נקודות וסדרן.

במילים אחרות, המודול של הווקטור הוא האורך שבין ההתחלה לסוף הווקטור, כלומר איפה החץ מתחיל ואיפה הוא מסתיים.

ניתן כל וקטור דו-ממדי כלשהו:

המידע שקואורדינטות הווקטור נותנים לנו, כלומר vx ו- vy, הוא אורכו עבור ציר ה- x ואורכו עבור ציר ה- y, בהתאמה.

אז אם אנו יודעים את הקואורדינטות נוכל לחשב את המודול של הווקטור.

מודולוס של וקטור ומשפט פיתגורס

האם הציור הקודם לא מזכיר לך דמות גיאומטרית?

בדיוק, אנו יכולים לדמיין כי צירי הקואורדינטות לצד הווקטור יוצרים מלבן עם בסיס vx וגובה vy. אנו יכולים לחלק את המלבן הזה לשני משולשים סימטריים, כלומר לשניהם יהיה אותו בסיס וגובה זהה.

למשולש בצבע כחול יש בסיס של vx וגובה של vy. לכן, בידיעת המידע הזה נוכל לדעת את ההיפוטנוזה שלו. יש משפט מפורסם מאוד המכונה משפט פיתגורס המשמש לחישובים אלה.

הפגנה

אנו יודעים שהנוסחה הפיתגוראית היא כדלקמן:

איפה h הוא ההיפוטנוזה, c היא רגל אחת, ו- c היא רגל אחרת.

במקרה שלנו, אנחנו יודעים כמה הרגליים שלנו שוות, במילים אחרות, הבסיס והגובה. אז נוכל לחבר את המידע למשוואה:

אנו ממשיכים להסיר את הריבוע של h על ידי יישום השורש הריבועי:

אם אנו אומרים ש- vx = 3 ו- vy = 6:

לכן, אם v היה וקטור עם קואורדינטות (3,6), היינו יודעים שהמודול שלו הוא 6.7082. בדיוק, המודול שלו, מכיוון שהנוסחה למודול של כל וקטור v היא:

אנו רואים שדווקא המידע שחסר לנו במשוואה עולה בקנה אחד עם ההיפוטנוזה. במילים אחרות, אורך הווקטור הוא מה שאנחנו רוצים לחשב והיפוטנוזה הוא האלכסון של המשולש. לכן, אנו יכולים להסיק כי שימוש במשפט פיתגורס לחישוב המודול של הווקטור הוא שיטה תקפה.

אז אם עלינו לחשב את המודולוס של הווקטור ואנחנו לא זוכרים את הנוסחה, אנחנו יכולים לחשוב על משפט פיתגורס ולפתור את הבעיה.