אי השוויון של צ'בישב - מהו, הגדרה ומושג

אי-השוויון של צ'בישב הוא משפט המשמש בסטטיסטיקה המספק הערכה שמרנית (רווח סמך) של ההסתברות שמשתנה אקראי עם שונות סופית יהיה במרחק מסוים מהציפייה המתמטית שלו או מממוצעו.

הביטוי הפורמלי שלה הוא כדלקמן:

X = ערך משוער

µ = ציפייה מתמטית לערך המשוער

Ϭ = סטיית התקן של הערך הצפוי

k = מספר סטיות התקן

החל מהביטוי הכללי הזה ופיתוח החלק שנותר בערך המוחלט יהיה לנו את הדברים הבאים:

אם נשים לב לביטוי הקודם, ניתן לראות שהחלק משמאל הוא לא יותר מ- a מרווח ביטחון. זה מציע לנו גם גבול תחתון וגם גבול עליון לערך המשוער. לכן, אי השוויון בצ'בישב אומר לנו את ההסתברות המינימלית שפרמטר האוכלוסייה נמצא במספר מסוים של סטיות תקן מעל או מתחת לממוצע שלו. או במילים אחרות, זה נותן לנו את ההסתברות שפרמטר האוכלוסייה נמצא באותו רווח ביטחון.

חוסר השוויון של צ'בישב מספק גבולות משוערים לערך המשוער. למרות שיש מידה מסוימת של חוסר דיוק, זהו משפט שימושי מאוד מכיוון שניתן להחיל אותו על מגוון רחב של משתנים אקראיים ללא קשר להפצות שלהם. המגבלה היחידה שאפשר להשתמש באי-שוויון זה היא ש- k צריך להיות גדול מ- 1 (k> 1).

דוגמה ליישום אי השוויון של צ'בישב

נניח שאנחנו מנהלים של קרן השקעות. לתיק אותו אנו מנהלים תשואה ממוצעת של 8.14% וסטיית תקן של 5.12%. כדי לדעת, למשל, איזה אחוז מהתשואות שלנו הם לפחות 3 סטיות תקן מהרווחיות הממוצעת שלנו, היינו מיישמים את הנוסחה הקודמת של הביטוי 2.

k = 1.96

החלפת הערך של k: 1- (1 / (1.96 2)) = 0.739 = 73.9%

משמעות הדבר היא כי 73.9% מהתוצאות הן ברווח הביטחון הממוקם ב -1.96 סטיות תקן מהממוצע.

בואו נעשה את הדוגמה הקודמת לערכים שאינם k.

k = 2.46
k = 3

החלפת הערך של k: 1- (1 / (2.46 2)) = 0.835 = 83.5%

החלפת הערך של k: 1- (1 / (3 2)) = 0.889 = 88.9%

ישנם 83.5% מהנתונים הנמצאים במרחק של 2.46 סטיות תקן מהממוצע ו 88.9% הנמצאים בטווח של 3 סטיות תקן מהממוצע.

בעזרת חוסר השוויון של צ'בישב קל להסיק שככל שערך K גבוה יותר (ככל שסטיית הערך המשוער מהממוצע שלו גדולה יותר), כך גדל ההסתברות שהמשתנה האקראי נמצא במרווח הגבול.