התפלגות פואסון - מה זה, הגדרה ומושג

התפלגות פואסון היא התפלגות הסתברות דיסקרטית המדגמת את תדירות האירועים המסוימים במרווח זמן קבוע על סמך התדירות הממוצעת להתרחשות אירועים אלה.

במילים אחרות, התפלגות הפואסון היא התפלגות הסתברות דיסקרטית, שרק על ידי ידיעת האירועים ותדירות ההתרחשות הממוצעת שלהם, נוכל לדעת את ההסתברות שלהם.

ביטוי להפצת פואסון

בהתחשב במשתנה אקראי נפרד X אנו אומרים כי ניתן להתקרב באופן משביע רצון לתדירותו להתפלגות פואסון, כך ש:

שלא כמו ההתפלגות הרגילה, התפלגות הפואסון תלויה רק בפרמטר אחד, mu (מסומן צהוב).

מו מדווח על מספר האירועים הצפוי שיתרחשו בפרק זמן מוגדר. כשמדברים על משהו "צפוי" עלינו להפנות אותו לחשוב על הממוצע. לכן, מו הוא ממוצע תדירות האירועים.

גם הממוצע וגם השונות של התפלגות זו הם חיוביים בהחלט.

יִצוּג

בהתחשב בהתפלגות פואסון עם ממוצע 2, התפלגות ההסתברות לצפיפות היא כדלקמן:

הפונקציה מוגדרת רק בערכים שלמים של x.

לא כל התפלגויות ההסתברות של צפיפות פואסון ייראו זהות גם אם נשמור על המדגם זהה. אם נשנה את הממוצע, כלומר הפרמטר שתלות בו הפונקציה, גם הפונקציה תשתנה.

פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)

פונקציה זו מובנת כהסתברות שהמשתנה האקראי X לוקח ערך ספציפי x. זהו האקספוננציאלי של הממוצע השלילי מוכפל בממוצע שהועלה לתצפית וכל זה מחולק בפקטוריון התצפית.

כאמור, כדי לדעת את ההסתברות לכל תצפית, נצטרך להחליף את כל התצפיות בפונקציה. במילים אחרות, x הוא וקטור של מימד n שמכיל את כל התצפיות של המשתנה האקראי X. הממוצע יהיה גם וקטור אבל של מימד אחד, כך ש:

ברגע שיש לנו את ההסתברויות המחושבות, יחד עם התצפיות נוכל לצייר את התפלגות צפיפות ההסתברות.

כַּתָבָה

שמה של תפוצה זו מקורו ביוצרו, סימון-דניס פואסון (1781-1840), מתמטיקאי ופילוסוף צרפתי, שרצה לדגמן את תדירות האירועים בפרק זמן קבוע. הוא גם השתתף בשכלול חוק המספרים הגדולים.

אפליקציה

חלוקת פואסון משמשת בתחום הסיכון התפעולי במטרה לדגם מצבים בהם מתרחש הפסד תפעולי. בסיכון שוק, תהליך Poisson משמש לזמני המתנה בין עסקאות פיננסיות במאגרי מידע בתדירות גבוהה. כמו כן, סיכון האשראי נלקח בחשבון כדי לדגם את מספר פשיטות הרגל.

דוגמא

אנו מניחים שאנחנו בעונת החורף ואנחנו רוצים לעשות סקי לפני דצמבר. ההסתברות שאתרי הסקי יפתחו לפני דצמבר היא 5%. מתוך 100 אתרי הסקי, אנו רוצים לדעת את ההסתברות כי אתר הסקי הקרוב ביותר ייפתח לפני דצמבר. הערכת שווי אתר סקי זה היא 6 נקודות.

התשומות הדרושות לחישוב פונקציית ההסתברות לצפיפות Poisson הן מערך הנתונים ו- mu: