פולינום טיילור הוא קירוב פולינומי לפונקציהנ פעמים נגזר בנקודה מסוימת.
במילים אחרות, הפולינום של טיילור הוא סכום סופי של נגזרות מקומיות המוערכות בנקודה מסוימת.
מתמטית
אנו מגדירים:
f (x): פונקציה של איקס.
f (x0): פונקציה שלאיקסבנקודה ספציפית x0. רשמית כתוב:
F(n)(איקס):ננגזרת של הפונקציה f (x).
יישומים
הרחבת טיילור מוחלת בדרך כלל על נכסים פיננסיים ומוצרים שמחירם מבוטא כפונקציה לא ליניארית. לדוגמא, מחיר נייר חוב לטווח קצר הוא פונקציה לא ליניארית שתלויה בריבית. דוגמה נוספת תהיה אופציות, בהן גורמי סיכון ורווחיות הם פונקציות לא ליניאריות. חישוב משך זמן האג"ח הוא פולינומי טיילור מהדרגה הראשונה.
דוגמה פולינומית של טיילור
אנו רוצים למצוא את הסדר השני של קירוב טיילור לפונקציה f (x) בנקודה x0=1.
1. אנו יוצרים את הנגזרות הרלוונטיות לפונקציה f (x).
במקרה זה, הם מבקשים מאיתנו עד הסדר השני, לכן נכין את הנגזרות הראשונה והשנייה של הפונקציה f (x):
- נגזרת ראשונה:
- נגזרת שנייה:
2. אנו מחליפים את x0= 1 ב- f (x), f '(x) ו- f "(x):
3. ברגע שיש לנו את ערך הנגזרות בנקודה x0= 1, אנו מחליפים אותו בקירוב טיילור:
אנחנו מתקנים את הפולינום מעט:
בודק ערכים
קירוב טיילור יהיה הולם ככל שיהיה קרוב יותר ל- x0 להיות הערכים. כדי לבדוק זאת, אנו מחליפים ערכים הקרובים ל- x0 הן בפונקציה המקורית והן בקירוב טיילור לעיל:
כאשר x0=1
פונקציה מקורית:
קירוב טיילור:
כאשר x0=1,05
פונקציה מקורית:
קירוב טיילור:
כאשר x0=1,10
פונקציה מקורית:
קירוב טיילור:
במקרה הראשון כאשר x0= 1, אנו רואים שגם הפונקציה המקורית וגם קירוב טיילור נותנים לנו את אותה התוצאה. זאת בשל הרכב הפולינום של טיילור שיצרנו באמצעות הנגזרות המקומיות. נגזרות אלו הוערכו בנקודה מסוימת, x0= 1, על מנת להשיג ערך וליצור את הפולינום. אז ככל שמתרחקים מאותה נקודה מסוימת, x0= 1, ככל שהקירוב יהיה פחות מתאים לפונקציה המקורית הלא לינארית. במקרים בהם x0= 1.05 ו- x0= 1.10 יש הבדל משמעותי בין תוצאת הפונקציה המקורית לבין קירוב טיילור.
אבל … ההבדל הוא קטן מאוד, לא?
ייצוג פולינומי של טיילור
אם אנו מאריכים את הקיצוניות (כאשר הקירוב מתרחק מ- x0=1):
במבט ראשון זה אולי נראה חסר משמעות אבל כשאנחנו עובדים על הגרף ומבצעים קירובים חשוב מאוד לקחת בחשבון לפחות את ארבע העשרוניות הראשונות. בסיס הקירובים הוא דיוק.