וקטורים תלויים ליניארי

שני וקטורים תלויים ליניארית הם שני וקטורים שלא יכולים לשלב באופן לינארי ולכן אינם יכולים להוות בסיס במישור.

במילים אחרות, שני וקטורים תלויים באופן ליניארי כאשר איננו יכולים לכתוב אותם כצירוף לינארי ולכן הם לא יוכלו להוות בסיס. שילוב לינארי של וקטורים יוצר משוואה בה מופיעים שני וקטורים ושני מספרים ממשיים.

נוּסחָה

ניתן את הווקטורים הבאים וכל המספרים האמיתיים:

ניתן ליצור שילוב לינארי של שניהם על ידי הזנת שני מספרים ממשיים. איפה למבדה י מו הם מספרים אמיתיים המציינים את המשקל של כל וקטור.

אז השילוב הליניארי יהיה:

שילוב ליניארי זה יכול לבוא לידי ביטוי כווקטור אחר, למשל, w:

לכן, עם הביטוי הקודם אנו אומרים כי הווקטור w הוא שילוב לינארי של וקטורים ל י v.

כאשר אנו מוצאים שילובים לינאריים של וקטורים ולא מופיעים מספרים מול הווקטורים, כלומר הפרמטרים למבדה י מו, זה אומר שהם 1.

לכן, אם שני וקטורים תלויים באופן ליניארי, המשמעות היא שלא נוכל לבטא אותם כשילוב לינארי של עצמם:

בגיאומטריה אנליטית זה מכונה גם שני ווקטורים פרופורציונליים.

יִצוּג

איך נראים שני וקטורים תלויים ליניארית?

ראשית, אנו מייצגים את הווקטורים בנפרד ושנית, אנו מייצגים את הווקטורים באותו מישור:

דוגמה מקבילית

אנו מניחים שיש לנו שלושה וקטורים ואנחנו רוצים לבטא אותם כשילוב לינארי. אנו יודעים גם כי כל וקטור מגיע מאותו קודקוד ומהווה את אבסיסת קודקוד זה. הדמות הגיאומטרית היא parallelepiped.

מכיוון שהם מודיעים לנו שהדמות הגיאומטרית שנוצרה על ידי הווקטורים הללו הם אבסיקה של מקבילית, אז הווקטורים תוחמים את פני הדמות:

שלושה וקטורים:

איך נוכל לדעת אם הווקטורים תלויים באופן ליניארי אם הם לא נותנים לנו מידע על הקואורדינטות שלהם?

ובכן, תוך שימוש בהיגיון. אם הווקטורים היו תלויים באופן ליניארי, אז כל פניהם של המקבילים היו מתמוטטים. במילים אחרות, הם יהיו זהים.

לכן, הווקטורים הקודמים לא יהיו תלויים באופן ליניארי מכיוון שהם לא יכולים ליצור parallelepiped.