סדרת טיילור - מה זה, הגדרה ומושג
סדרת טיילור היא סדרת כוחות המשתרעת עד אינסוף, כאשר כל אחד מהתוספות מועלה לכוח גדול יותר מקודמו.
כל אלמנט בסדרת טיילור תואם את הנגזרת התשיעית של הפונקציה f המוערכת בנקודה a, בין הפקטוריון של n (n!), וכל זה, כפול x-a שהועלה לכוח n.
במונחים פורמליים או מתמטיים, לסדרת טיילור יש את הצורה הבאה:
כדי להבין טוב יותר את סדרת טיילור, עלינו לזכור כי a היא נקודה על קו המשיק לפונקציה f. הקו האמור יכול, בתורו, לבוא לידי ביטוי כפונקציה לינארית ששיפוע זהה לשיפוע כמו הפונקציה f בנקודה a.
היבט נוסף שיש לזכור הוא ש- f הוא פונקציה מובחנת n פעמים בנקודה a. אם n הוא אינסוף, זוהי פונקציה המובחנת לאין ערוך.
במקרה מסוים, כאשר a = 0, הסדרה נקראת גם סדרת מקלאורין.
ההבדל בין סדרה לפולינומי טיילור
ההבדל בין סדרה לפולינומי טיילור הוא שבמקרה הראשון אנו מדברים על רצף אינסופי, ואילו בשני זו סדרה סופית.
לפיכך, ניתן להגדיר את הפולינום של טיילור כקירוב פולינום של פונקציה n פעמים המובחן בנקודה ספציפית (א).
דוגמאות לסדרות טיילור
כמה דוגמאות לריאציות של סדרת טיילור הן:
- פונקציה מעריכית:
- פונקציות טריגונומטריות:
יישומי סדרת טיילור
כמה יישומים של סדרת טיילור הם:
- ניתוח מגבלות.
- ניתוח נקודות נייחות או נקודות כיסא בפונקציות.
- יישום במשפט של L'Hopital (לפתרון גבולות).
- הערכה אינטגרלית.
- הערכת התכנסות ושוני בין סדרות מסוימות.
- ניתוח נכסים ומוצרים פיננסיים, כאשר המחיר מתבטא כפונקציה לא ליניארית.
