תורת הקבוצות היא ענף במתמטיקה (ולוגיקה) המוקדש ללימוד מאפייני הקבוצות והפעולות שניתן לבצע ביניהן.
כלומר, תורת הקבוצות היא תחום לימוד המתמקד בקבוצות. לכן, הוא האחראי על ניתוח הן התכונות שיש להם והן מערכות היחסים שניתן לבסס ביניהן. כלומר האיחוד, הצומת, השלמתו או אחר.
עלינו לזכור שסט הוא קיבוץ של אלמנטים, בין אם הם מספרים, אותיות, מילים, פונקציות, סמלים, דמויות גיאומטריות או אחרים.
כדי לקבוע סט, בדרך כלל מוגדר המאפיין המשותף לאלמנטים שלו. לדוגמא, קבוצה A עם המספרים השלמים, חיוביים ואפילו מספרים פחות מ -20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
היסטוריה של תורת הקבוצות
את ההיסטוריה של תורת הקבוצות ניתן לייחס ליצירתו של גאורג קנטור, מתמטיקאי גרמני ממוצא רוסי, הנחשב לאבי הדיסציפלינה הזו.
בין הנושאים אותם למד קנטור, למשל, בולט מערך אינסופי וסטים מספריים.
עבודתו הראשונה של קנטור על תיאוריית הקבוצות היא משנת 1874. בנוסף, ראוי להזכיר כי היה לו חילופי רעיונות תכופים עם המתמטיקאי ריצ'רד דדקינד, שתרם לחקר המספרים הטבעיים.
סטים מספריים
קבוצות מספריות הן הקבוצות השונות בהן המספרים מסווגים על פי מאפייניהם השונים. זוהי קונסטרוקציה מופשטת שיש לה יישום חשוב במתמטיקה.
קבוצות מספריות הן מורכבות, דמיוניות, אמיתיות, לא רציונאליות, רציונליות, שלמות וטבעיות, וניתן להמחישן בתרשים ון הבא:
מספרים מסובכיםמספרים דמיונייםמספרים אמיתייםמספרים אי - רציונלייםמספר רציונלימספרים שלמיםמספרים טבעיים
הגדר אלגברה
האלגברה של הסטים כוללת את היחסים שניתן ליצור ביניהם.
כך בולטות הפעולות הבאות:
- איחוד הסטים: האיחוד של שתי קבוצות או יותר מכיל כל אלמנט הכלול לפחות באחת מהן.
- צומת סטים: הצומת של שתי קבוצות או יותר כולל את כל האלמנטים שמשותף או משותף לקבוצות אלה.
- הגדר הבדל: ההבדל של קבוצה אחת ביחס למשנהו שווה לאלמנטים של הקבוצה הראשונה פחות האלמנטים של השנייה.
- סטים משלימים: ההשלמה של קבוצה כוללת את כל האלמנטים שאינם כלולים בערכה ההיא (אך שייכים לקבוצת התייחסות אחרת).
- הבדל סימטרי: ההבדל הסימטרי של שתי קבוצות כולל את כל האלמנטים שנמצאים זה או אחר, אך לא שניהם בו זמנית.
- מכפלה קרטזית: זו פעולה שמביאה לסט חדש. הוא מכיל כאלמנטים את הזוגות המסודרים או את הצמרות (סדרה מסודרת) של האלמנטים השייכים לשתי קבוצות או יותר. הם מוזמנים זוגות אם הם שני סטים וצמדים אם הם יותר משני סטים.