מטריצה אנטי-סימטרית היא מטריצה מרובעת כאשר האלמנטים מחוץ לאלכסון הראשי שווים סימטרית אך אלה שמתחת לאלכסון הראשי נושאים סימן שלילי.
במילים אחרות, מטריצה אנטי-סימטרית היא מטריצה שיש לה מספר זהה של שורות (n) ועמודות (m) והאלמנטים משני צידי האלכסון הראשי משלימים.
מכיוון שהאלמנטים מעל ומתחת לאלכסון הראשי מקוזזים, האלמנטים באלכסון הראשי הם אפסים.
מאמר מומלץ: מטריצה לא סימטרית ומטריקס סימטרי.
מאפייני המטריצה האנטי-סימטרית
המאפיינים של מטריצה אנטי-סימטרית הם:
- מטריצה מרובעת.
- מטריצה סימטרית + סימן שלילי (-) באלמנטים שמתחת לאלכסון הראשי.
- אלמנטים של האלכסון הראשי הם אפסים (0).
מטריצה אנטי-סימטרית
ניתנת מטריצה מרובעת אֵס,
אנו יכולים לראות כיצד אותם אלמנטים מופיעים משני צידי האלכסון הראשי, אך במיוחד שיש לאלמנטים שמתחת לאלכסון הראשי סימן שלילי מלפנים. כמו כן, האלכסון הראשי מורכב מאפסים.
המטריצה והמראות האנטי-סימטריות
באותו אופן כמו המטריצה הסימטרית, ניתן להבין את המטריצה האנטי-סימטרית גם באמצעות הדוגמה של המראה.
אם נתבונן בעצמנו במראה ונרים את זרוע ימין, נראה כי האדם במראה מרים את זרועו השמאלית. במילים אחרות, תנועת המראה משלימה את שלנו ולכן סכום שניהם יביא לאפס.
אנו יכולים להביע את הרעיון הנ"ל כדלקמן ולהסיק:
(תרים את היד ימין) - (תרים את היד שמאלה) = 0
(תרים את היד ימין) = (תרים את היד שמאלה)
האלכסון הראשי פועל כמראה ואנו רואים אלמנטים מנוגדים משני צידי האלכסון הראשי. הפונקציה הנייטרלית (=) ממפה לאלכסון הראשי.
תכונה
- המטריצה המועברת של מטריצה אנטי-סימטרית שווה למטריצה האנטי-סימטרית כפול (-1).
במילים אחרות, זה יהיה כמו להוסיף סימן שלילי מול המטריצה האנטי-סימטרית.
מתמטית,
אנו יכולים לראות כי בשני ההליכים אנו מגיעים לאותה תוצאה: הפיכת המטריצה לתמורה או הכפלת (-1) למטריצה האנטי-סימטרית.
מטריצה לא סימטרית לעומת מטריצה אנטיסימטרית לעומת מטריצה סימטרית
די בדוגמת המראה במקרה של המטריצה הסימטרית שהיא משקפת את אותה תנועה, כלומר אם אנו מרימים זרוע נוכל לראות זרוע מורמת אך אין צורך לציין מהי. במקרה של המטריצה האנטי-סימטרית, עלינו לבדוק איזו זרוע אנו רואים במראה ולקבוע האם מדובר במטריצה אנטי-סימטרית.
אם אנו מרימים זרוע ובמראה אנו רואים את זה …
- אותה זרוע מורמת, מנקודת מבטו של האדם במראה, ואז זו מטריצה סימטרית.
- הזרוע הנגדית מורמת, מנקודת מבטו של האדם במראה, ואז זו מטריצה אנטי-סימטרית.
- אם לא מרימים זרוע או מרימים יותר מאחת, מנקודת מבטו של האדם במראה, הרי שזו מטריצה לא סימטרית.