מודל Black-Scholes - מה זה, הגדרה ומושג

המודל של Black-Scholes הוא נוסחה המשמשת להערכת מחיר אופציה פיננסית. נוסחה זו מבוססת על תורת התהליכים הסטוכסטיים.

המודל של בלאק-שולס חייב את שמו לשני המתמטיקאים שפיתחו אותו, פישר בלק ומירון שולס. Black-Scholes שימש במקור להערכת אופציות שאינן דיבידנד. או מה זהה, כדי לנסות לחשב מה צריך להיות המחיר ה"הוגן "של אופציה פיננסית. בהמשך הורחב החישוב לכל מיני אפשרויות.

מודל זה קיבל את פרס נובל לכלכלה בשנת 1997. באופן זה הוא הפך לאחד מעמודי התווך הבסיסיים של התיאוריה הפיננסית המודרנית. אנליסטים רבים משתמשים בשיטה זו כדי להעריך מה צריך להיות המחיר המתאים לאופציה פיננסית.

הנחות המודל של Black-Scholes

לפני שנכנס לנוסחה ולחישוב הבא, יש צורך לשקול כמה שיקולים לגבי המודל. כמה הנחות התחלה שהמודל לוקח בחשבון ושנפרט בהמשך:

• אין עלויות עסקה או מיסים.
• הריבית נטולת הסיכון קבועה לכל הפדיון.
• המניה אינה משלמת דיבידנדים.
• התנודתיות נשארת קבועה.
• מכירה קצרה מותרת.
• אין הזדמנויות ארביטראז 'ללא סיכון.
• נניח שחלוקת ההסתברות של ההחזרים היא התפלגות נורמלית.

נוסחת Black-Scholes

נוסחת תמחור האופציות של Black-Scholes באה לידי ביטוי כדלקמן:

מוכנים להשקיע בשווקים?

אחת המתווכות הגדולות בעולם, eToro, הפכה את ההשקעה בשווקים הפיננסיים לנגישה יותר. כעת כל אחד יכול להשקיע במניות או לקנות שברים של מניות עם עמלות של 0%. התחל להשקיע עכשיו עם פיקדון של 200 דולר בלבד. זכרו שחשוב להתאמן להשקעה, אך כמובן שכיום כל אחד יכול לעשות זאת.

ההון שלך נמצא בסיכון. עמלות אחרות עשויות לחול. למידע נוסף בקרו באתר stocks.eToro.com

אני רוצה להשקיע עם אטורו

איפה:

• C = מחיר הרכישה של האופציה היום (T = 0) ביורו.
• T = תקופה לפדיון בשנים (3 חודשים = 0.25 שנים).
• r = ריבית ללא סיכון. הרווחיות של חוב המדינה ככל אחת
• סיגמא = תנודתיות לפי אחת.
• X = מחיר המימוש של אופציית הרכישה ביורו.
• S = מחיר המניה ב- T = 0 ביורו.
• N (d1 ו- d2) = ערך פונקציית ההסתברות המצטברת של התפלגות נורמלית עם אפס ממוצע וסטיית תקן אחת.

דוגמא לחישוב Black-Scholes

נניח שברצוננו לחשב את שווי אופציית הרכישה, שיש לה 3 חודשים לפוג, עם מחיר שביתה של 40 יורו. מחיר המניה הוא 50 יורו. התנודתיות השנתית היא 30% (0.3). ושיעור הריבית נטול הסיכון לשלושה חודשים הוא 10%. המניה אינה משלמת דיבידנד בשלושת החודשים הבאים.

לָכֵן:

• C = מחיר הרכישה של האופציה היום (T = 0) ביורו.
• T = 0,25.
• r = 0,1.
• סיגמא = 0,3.
• X = 40 יורו.
• S = 50 יורו.

אנו מחשבים את d1 ו- d2:

• d1 = 1,72.
• d2 = 1,57.
• N (d1) = 0,9573.
• N (d2) = 0,9418.

אגב, כדי להשיג את הערכים האחרונים של d1 ו- d2 יש צורך להשתמש בטבלאות ההסתברות.

ברגע שיש לנו את כל הנתונים, אנו מחליפים בנוסחה הראשונית:

לפיכך, לפי בלאק-שולס, המחיר המתאים לאופציית הקנייה שלנו הוא 11,123 אירו.

מגבלות דגם ה- Black-Scholes

מודל Black-Scholes אמנם מציע פתרון מבריק לבעיית חישוב מחיר מתאים לאופציה, אך יש לו מגבלות מסוימות.

זהו מודל, כלומר התאמה של המציאות. לכן, כהתאמה למציאות, היא אינה מייצגת אותה באופן מושלם. Black-Scholes מחשבת את המחיר לאופציות שניתן לממש או להסדיר רק בתום התפוגה. עם זאת, ניתן לממש אופציות בארה"ב לפני התפוגה. בנוסף, היא גם מניחה כי המניה אינה משלמת דיבידנדים. וכי גם שיעור ללא סיכון וגם תנודתיות קבועים. מה שלא כך גם במציאות, שכן מניות רבות משלמות דיבידנד. לבסוף, התנודתיות והשיעורים נטולי הסיכון משתנים לאורך זמן, כך שגם הנחה זו אינה נכונה.

מודל מתמטי