הממוצע המותנה הוא הממוצע של מערך נתונים שמשתנה אם ערכת הנתונים משתנה. זה יכול להיחשב גם כערך הצפוי של חלוקת הסתברות בתוספת מונח השגיאה.
במילים אחרות, הממוצע המותנה תלוי (מותנה) בנתוני המדגם. עקב שינויים בנתונים אלה, גם הממוצע המותנה ישתנה.
הממוצע המותנה יחד עם משוואת השונות המותנית הם הבסיס למודל האוטורגרסיבי ולמודל הממוצע הנע.
מאמרים מומלצים: תורת ההליכה האקראית, משפט גאוס-מרקוב, מודל אוטורגרסיבי, ציפייה מתמטית.
משוואת הממוצע המותנה
כאשר c הוא קבוע שניתן על ידי הערכת הריבועים הקטנים הרגילים (OLS) ו-
הוא מונח השגיאה בזמן t.
אנו פשוט אומרים שכדי להשיג חיזוי של המשתנה X בזמן t אנו משתמשים בקבוע c ובמונח השגיאה.
קבוע זה c מייצג את הממוצע ומתקבל על ידי אומדן OLS. אז התחזית שלנו לגבי X בזמן t תלויה בערך הממוצע (ערך צפוי) ובשגיאת הערכה.
למרות שמשוואה זו אולי לא נראית לכם מוכרת במיוחד, וודאי שהשתמשתם בה פעמים רבות באופן סמוי.
ניתן לשכתב את המשוואה לעיל כ:
אם אנו מבודדים את מונח השגיאה, נקבל:
עכשיו זה נשמע מוכר?
משוואה זו היא ההגדרה של מונח השגיאה par excellence שכן השגיאה תהיה ההבדל בין הערך האמיתי האמיתי של המשתנה X לבין הערכתנו לפי OLS (ערך ממוצע). המשתנה התלוי באומדן OLS הוא הממוצע (הערך הצפוי) בהתחשב בתצפיות.
משוואת ממוצע מותנה אוטומטית
אנו מתחילים מהמשוואה של הממוצע המותנה הראשוני:
אנו מוסיפים רגרסור ומשתנה עצמאי בפיגור, כך:
למרות שמשוואה זו עשויה להיראות לך מוכרת עוד פחות, ודאי השתמשת בה באופן סמוי כמה פעמים.
ניתן לשכתב את המשוואה הנ"ל כתהליך אוטורגרסיבי מסדר ראשון או AR (1):
עכשיו זה נשמע מוכר?
עם שינוי זה במשוואת הממוצע המותנה אנו אומרים כי הערך העתידי של המשתנה Xt תלוי בקבוע קבוע והערך של אותו משתנה פרק זמן לפני הנוכחי (t-1). תלות זמנית זו מרמזת כי התצפיות על המשתנה Xt לכן הם אינם תלויים זה בזה שהתהליך הסטוכסטי הוא טרנדי ולא נייח.
אפליקציה
בשווקים הפיננסיים מקובל יותר להשתמש בממוצע המותנה האוטורגרסיבי מכיוון שמחירי הנכסים עוקבים אחר מגמה (כלפי מעלה, מטה או רוחבית) ולכן אינם אקראיים לחלוטין (תצפיות בלתי תלויות ביניהם).