משוואות פונקציונליות - מה זה, הגדרה ומושג

משוואות פונקציונליות הן אלו שיש להן פונקציה אחרת כלא ידועה. פונקציה שניתן לקשר לפעולה אלגברית כגון חיבור, חיסור, חלוקה, כפל, כוח או שורש.

ניתן להגדיר משוואות פונקציונליות גם כאלו שאינן ניתנות להפחתה בקלות לפונקציה אלגברית, מהסוג f (x) = 0, לרזולוציה שלהן.

משוואות פונקציונליות מאופיינות מכיוון שאין דרך אחת לפתור אותן. בנוסף, המשתנה המדובר עשוי לקחת ערכים שונים (נראה אותו עם דוגמאות).

דוגמאות למשוואות פונקציונליות

כמה דוגמאות למשוואות פונקציונליות הן:

f (xy) = f (x). f (y)

f (x²+ ו²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

במקרים כמו הקודמים, ניתן להוסיף, למשל, ש- x שייך לקבוצת המספרים האמיתיים, כלומר x ∈ R (ניתן לא לכלול אפס).

דוגמאות למשוואות פונקציונליות

בואו נראה כמה דוגמאות למשוואות פונקציונליות שנפתרו:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

אז אם אני מחליף את x ב- 1 / 2x:

f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)

עכשיו, בואו נראה דוגמה נוספת עם קצת יותר קושי, אבל איפה נמשיך בדרך דומה:

איקס²f (x) -f (5-x) = 3x … (1)

במקרה זה, ראשית נפתור f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x … (2)

עכשיו אני מחליף את x ב- 5-x במשוואה 1:

(5-x)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25-10x + x²) .f (5-x) -f (x) = 15-3x

אנו זוכרים כי f (5-x) נמצא במשוואה 2:

(25-10x + x²). (איקס²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3x³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10x³-1) = פי 3³-55x²+ 72x

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10x³-1)

המשוואה הפונקציונלית של קושי

הפונקציה הפונקציונלית של קאוצ'י היא מהבסיסיות ביותר מסוגה. למשוואה זו יש את הצורה הבאה:

f (x + y) = f (x) + f (y)

בהנחה ש- x ו- y נמצאים במערך המספרים הרציונליים, הפתרון של משוואה זו אומר לנו ש- f (x) = cx, כאשר c הוא קבוע כלשהו, ​​וכך קורה גם עם f (y).