נקודת כיפוף - מה זה, הגדרה ומושג

נקודת הטיה של פונקציה מתמטית היא אותה נקודה בה הגרף המייצג אותה משנה את קיעורו. כלומר, הוא עובר מלהיות קעור להיות קמור, או להיפך.

נקודת הטיה, במילים אחרות, היא הרגע שבו הפונקציה משנה מגמה.

כדי לקבל מושג, נתחיל להסתכל עליו בייצוג גרפי, בערך:

יש לציין כי לפונקציה עשויה להיות יותר מנקודת הטיה אחת, או בכלל לא. לדוגמא, בשורה אין נקודת הטיה.

בואו נראה, בגרף הבא, דוגמה לפונקציה עם יותר מנקודת כיפוף אחת:

כמו כן, במונחים מתמטיים, נקודת הטיה מחושבת על ידי הגדרת הנגזרת השנייה של הפונקציה שווה לאפס. לפיכך אנו פותרים את השורש (או השורשים) של המשוואה הזו ונקרא לה Xi.

ואז אנו מחליפים את Xi בנגזרת השלישית של הפונקציה. אם התוצאה שונה מאפס, אנו ניצבים מול נקודת הטיה.

עם זאת, אם התוצאה היא אפס, עלינו להחליף בנגזרות העוקבות, עד שערך הנגזרת הזו, בין אם זה השלישי, הרביעי או החמישי, יהיה שונה מ- 0. אם הנגזרת היא אי-זוגית, זוהי נקודת כיפוף, אך אם זה אפילו לא.

דוגמא לנקודת מפנה

לאחר מכן, בואו נסתכל על דוגמא.

נניח שיש לנו את הפונקציה הבאה:

y = 2x⁴+ פי 5³+ 9x + 14

y ’= 8x³+ פי 15²+9

y »= 24x²+ 30x = 0

24x = -30

Xi = -1.25

לאחר מכן אנו מחליפים את Xi בנגזרת השלישית:

y »’ = 48x

y »’ = 48x-1.25 = -60

מכיוון שהתוצאה שונה מאפס, אנו מוצאים את עצמנו מול נקודת הטיה שתהיה כאשר x שווה ל- -1.25 ו- y שווה ל- -2.1328, כפי שמוצג בגרף הבא.

בכך נצפה כי לפונקציה נקודת כיפוף:

עכשיו, בואו נסתכל על דוגמה אחרת:

y = x⁴-54x²

y ’= פי 4³-108x

y »= 12x²-108=0

איקס²=9

Xi = 3 ו- -3

לאחר מכן אנו מחליפים את שני השורשים שנמצאים בנגזרת השלישית:

y »’ = 24x

y »’ = 24 × 3 = 72

y »’ = 24x-3 = -72

מכיוון שהתוצאה אינה אפסית, יש לנו שתי נקודות כיפוף ב (3,567) ו- (-3,567).

להשלמת המידע, אנו מזמינים אתכם לבקר במאמר ההטיה, שם אנו מכסים את המושג בצורה כללית יותר: