התפלגות נורמלית - מה זה, הגדרה ומושג

ההתפלגות הנורמלית היא מודל תיאורטי המסוגל לערוך באופן משביע רצון את ערכו של משתנה אקראי למצב אידיאלי.

במילים אחרות, ההתפלגות הנורמלית מתאימה למשתנה אקראי לפונקציה שתלויה בממוצע ובסטיית התקן. כלומר, לפונקציה ולמשתנה האקראי יהיה אותו ייצוג אך עם הבדלים קלים.

משתנה אקראי רציף יכול לקחת כל מספר ממשי. לדוגמא, החזרות מניות, תוצאות בדיקה, מנת משכל ושגיאות סטנדרטיות הן משתנים אקראיים רציפים.

משתנה אקראי נפרד לוקח ערכי טבע. לדוגמא, מספר הסטודנטים באוניברסיטה.

ההתפלגות הנורמלית היא הבסיס להפצות אחרות כגון התפלגות t של התלמיד, התפלגות הריבוע הצ'י, התפלגות F של פישר, והפצות אחרות.

נוסחת ההתפלגות הנורמלית

בהתחשב במשתנה אקראי X, אנו אומרים כי ניתן לקרב באופן משביע את תדירות תצפיותיו להתפלגות נורמלית כך:

כאשר פרמטרי ההתפלגות הם הערך הממוצע או המרכזי וסטיית התקן:

במילים אחרות, אנו אומרים שתדירות המשתנה האקראי X יכולה להיות מיוצגת על ידי התפלגות נורמלית.

יִצוּג

פונקציית צפיפות הסתברות של משתנה אקראי העוקב אחר התפלגות נורמלית.

נכסים

• זו התפלגות סימטרית. ערך הממוצע, החציון והמצב חופפים. מתמטית,

ממוצע = חציון = מצב

• התפלגות לא מודאלית. הערכים שנמצאים בתדירות גבוהה יותר או בעלי סיכוי גבוה יותר להופיע הם סביב הממוצע. במילים אחרות, כאשר אנו מתרחקים מהממוצע, ההסתברות להופעת הערכים ותדירותם פוחתת.

מה עלינו לייצג התפלגות נורמלית?

• משתנה אקראי.
• חשב את הממוצע.
• חשב את סטיית התקן.
• החליטו על הפונקציה אותה אנו רוצים לייצג: פונקציית צפיפות הסתברות או פונקציית התפלגות.

דוגמה תיאורטית

אנו מניחים שאנו רוצים לדעת האם תוצאות הבדיקה יכולות לערוך התפלגות נורמלית באופן משביע רצון.

אנו יודעים כי 476 תלמידים משתתפים במבחן זה והתוצאות עשויות לנוע בין 0 ל 10. אנו מחשבים את סטיית התקן והממוצע מהתצפיות (תוצאות הבדיקה).

לכן, אנו מגדירים את המשתנה האקראי X כציוני המבחן התלויים בכל תוצאה בודדת. מתמטית,

הציון של כל תלמיד נרשם בטבלה. בדרך זו נקבל חזון עולמי של התוצאות ותדירותן.

תוצאות	תדירות
0	20
1	31
2	44
3	56
4	64
5	66
6	62
7	51
8	39
9	26
10	16
סך הכל	476

לאחר עריכת הטבלה, אנו מייצגים את תוצאות הבדיקה ואת התדרים. אם הגרף נראה כמו התמונה הקודמת ועומד בתכונות, ניתן לקרוב באופן משתנה את משתנה תוצאות הבדיקה להתפלגות נורמלית של ממוצע 4.8 וסטיית תקן של 3.09.

האם תוצאות הבדיקה יכולות להעריך התפלגות נורמלית?

הסיבות לשקול כי משתנה תוצאות הבדיקה עוקב אחר התפלגות נורמלית:

• התפלגות סימטרית. כלומר, יש מספר זהה של תצפיות גם מימין וגם משמאל לערך המרכזי. כמו כן, כי הממוצע, החציון והמצב הם בעלי אותו ערך.

ממוצע = חציון = מצב = 5

• התצפיות בתדירות הגבוהה ביותר או בהסתברות הן סביב הערך המרכזי. במילים אחרות, התצפיות בפחות תדירות או הסתברות רחוקות מהערך המרכזי.

ההתפלגות הנורמלית מתארת ​​את המשתנה האקראי בקירוב המייצר שגיאות סטנדרטיות (הסורגים מעל כל עמודה). שגיאות אלה הן ההבדל בין התצפיות בפועל (תוצאות) לתפקוד הצפיפות (התפלגות נורמלית).