ציון סטנדרטי או מודפס

ציונים סטנדרטיים או תקניים הם שיטה להשוואה בין המיקומים היחסיים של שני פריטים או יותר ביחס למכלול התצפיות.

במילים אחרות, הציונים הסטנדרטיים מחזירים את מספר סטיות התקן שהציון x_אני חורג מהממוצע.

מתמטית, תן ל x_אני אלמנט i של משתנה X עם ממוצע וסטיית תקן S. ואז, הציון הסטנדרטי של אלמנט זה i הוא:

ציונים סטנדרטיים מאפשרים לך להשוות פריטים ממשתנים שונים ויחידות מדידה שונות כל עוד מתקיימים המאפיינים.

נכסים

לציונים הסטנדרטיים אין יחידות מדידה. יחידות המונה מתבטלות עם יחידות המכנה. בהתחשב במאפיין זה, הציון הסטנדרטי נקרא גם הציון הסטנדרטי.

הערך המוחלט של הציון הוא מספר סטיות התקן המפרידות בין הפריט לערך הממוצע של המשתנה בו הוא שייך. לאחר מכן:

אם ניקח בחשבון את סימן הציונים הסטנדרטיים, נוכל לקבוע את מיקום האלמנט ביחס לממוצע של המשתנה.

• ז_אני> 0: אלמנט אני נמצא מעל הממוצע = אלמנט i נמצא מימין לממוצע.
• ז_אני<0: אלמנט אני נמצא מתחת לממוצע = אלמנט i נמצא משמאל לממוצע.

הציונים הסטנדרטיים של כל האלמנטים בונים משתנה חדש בשם z_אני.

משתנה זה z_אני מתקבל מהחיסור (xi - X_חֲצִי) ושינוי קנה המידה עם חלוקת סטיית התקן (S).

טיפוס מאופיין בכך שהוא ממוצע 0 ושונות 1.

• הממוצע של כל הציונים הסטנדרטיים הוא 0.
• השונות של כל הציונים הסטנדרטיים היא 1.

יישומים

בסטטיסטיקה ובאקונומטריה משתמשים בטבלאות התפלגות הסתברות מאופיין כדי למצוא את ההסתברות שתצפית תיקח בהתחשב בפונקציית ההתפלגות שהמשתנה עוקב אחריה.

דוגמא מעשית

יש לנו שני אתרי סקי A ו- B בהם גולשים יכולים לעשות סקי אלפיני (אלפיני) או סקי נורדי (נורדי). נלמד איזו פעילות הכי פופולרית בכל אתר סקי בהתאם למספר הגולשים שמבצעים כל פעילות.

אלמנטים
עונות	חֲצִי	Dev. תֶקֶן	אלפיני	נורדי
ל	96	2,6	112	52
ב	22	4	24	41

אנו מחשבים את הציונים הסטנדרטיים:

אנו בונים את מטריצת התוצאות:

ציונים סטנדרטיים
עונות	אלפיני	נורדי
ל	6,1538	-16,923
ב	0,5	4,75

כתוצאה מכך יש לנו:

סקי אלפיני פופולרי יותר מסקי נורדי באתר הסקי A מכיוון ש:

ז_{א, אלפיני} > 0, Z_{A, נורדי} <0 ו- Z_{א, אלפיני} > ז_{A, נורדי.}

סקי נורדי פופולרי יותר מסקי אלפיני באתר הסקי B כי

ז_{ב ', נורדי} > ז_{ב ', אלפיני} עם שניהם גדולים מאפס.

מעל הממוצע:

ז_{א, אלפיני} > 0, Z_{ב ', אלפיני} > 0 ו- Z_{ב ', נורדי} > 0

מתחת לממוצע:

ז_{A, נורדי} <0