Cramér-Rao bound (CCR) הוא השונות המינימלית, בהינתן תנאי סדירות, אומדן של פרמטר אחד יכול להגיע אליו.
במילים אחרות, אנו מחפשים את השונות הקרובה ביותר לגבול התחתון הזה כדי למצוא את האומדן הטוב ביותר בהתאם לתכונות של משוא פנים ויעילות.
מומלץ לקרוא את מאפייני האומדנים
משתמשים בתכונות אלו כאשר עלינו לבחור אומדן על מנת לבצע ניתוח אקונומטרי. אם אנו רוצים שהתוצאות שלנו יהיו חד משמעיות, לכל הפחות, נצטרך לדרוש מהאומד להיות משוחד ולהיות בעל השונות הקטנה ביותר האפשרית של כל האומדנים המשוחדים (יעילות).
למרות שאנחנו לוקחים בחשבון את כל האומדנים המשוחדים, כאשר אנו מחפשים את אומדן השונות המינימלי, יתכן שקורה שיש אומדן משוחד אחר שיש בו פחות שונות.
כך שאף אומדן לא משוחד עם שונות מינימלית לא יברח מאיתנו, אנו קובעים גבול מינימלי או תחתון שהשונות של האומדן המשוחד של פרמטר אינה יכולה לחרוג.
אנו מסתכלים רק על האומדנים המשוחדים מכיוון שלאומדים המוטים יכולות להיות שונות פחות מ- CCR.
ניסוח
אנו מגדירים:
f (X; Θ): פונקצית צפיפות ההסתברות.
E (·): תקווה מתמטית.
אני (Θ): מידע על פישר של פרמטר.
מייצג "כמות המידע" אודות ערך הפרמטר הכלול בתצפית על המשתנה האקראי X.
נוּסחָה:
לא להיבהל! מה אנו יכולים לראות במבט ראשון מנוסחה זו?
- אנו יכולים לראות שמדובר באי שוויון לא קפדני (≥) במקום בשוויון (=). הסיבה לכך היא שבמקרים מסוימים איננו מוצאים (לא קיים) אומדן חסר משוא פנים שמגיע לגבול ה- CCR. לכן אנו אומרים כי אנו מחפשים את השונות של אומדן חסר משוא פנים שקרוב לגבול התחתון הזה ככל האפשר. בנוסף, ה- CCR אומר לנו מה השונות המינימלית של האומדן, מתחת לנתון זה לא ניתן למצוא אותו.
- החלק מימין (var (Θ ') הוא השונות של אומדן הפרמטר שלנו.
- החלק משמאל (1 / J (Θ)) הוא המינימום הבלתי נתפס של השונות.
- אם אנו מחפשים מינימום (מוחלט) לשונות האומדן של Θ, זה הגיוני שמופיעות נגזרות חלקיות (נגזרת ביחס ל- Θ).
- בכלכלה, נגזרות חלקיות משמשות בתנאים מסדר ראשון ושני על מנת לייעל את פונקציות השירות: למצוא את המקסימום והמינימום היחסיים והמוחלטים בהתאמה.
- CCR משתמש בנגזרת החלקית הראשונה של הפרמטר Θ על פונקציית צפיפות ההסתברות f (X; Θ)
- כדי להקל על החישוב, בחלק מהמקרים נעשה שימוש במידע הנגזר השני והחלופי על פישר להשגת CCR.
האומדנים, בהיותם משוחדים, בעלי שונות השווה ל- CCR, ייחשבו אז כיעילים ביותר. באופן דומה, אלה שאינם משוחדים שהשונות שלהם קרובה יותר ייחשבו ליעילים יחסית לאומדים האחרים (רחוקים יותר).