בעיית מונטי הול היא בעיה הסתברותית בהשראת תוכנית הטלוויזיה האמריקאית בואו נעשה עסקה.
השם בהשראת האדם שהגיש את התוכנית: מונטי הול.
תוכנית זו שודרה בין השנים 1963 - 1986.
הצהרה על בעיית מונטי הול
בבעיית מונטי הול מוצג למשתתף שלוש דלתות עם אפשרות לבחור אחת מהן. בהתחשב בבחירתך, תוכל לזכות בפרס המוסתר מאחורי הדלת. לכן, מאחורי כל דלת יש פרס, בדלת אחת יש רכב ובשתי האחרות יש עז.
לאחר שהמשתתף בוחר את הדלת, המנחה או המגיש פותחים את אחת משתי הדלתות שנותרו. מכיוון שהמנחה יודע מה עומד מאחורי כל דלת, הוא פותח אחת שמסתירה עז ומראה אותה למשתתף.
לאחר מכן ניתנות לך שתי אפשרויות: 1) שמור את הדלת שבחרת או 2) שנה את בחירתך הראשונית.
לבסוף נשאלת השאלה, האם עדיף המשתתף לשנות או לשמור על בחירתו?
פתרון לבעיית מונטי הול
הפיתרון הפשוט ביותר לבעיית מונטי הול הוא אינטואיטיבי. ההסתברות לבחור את הדלת עם הרכב כפרס היא 1 מתוך 3 (⅓). בינתיים, הסיכויים להפסיד הם ⅔.
כלומר, אם אתה שומר על הבחירה הראשונית שלך, אתה שומר על ⅓ ההסתברות להצלחה. מצד שני, אם תשנה את בחירתך, ההסתברות לזכות ברכב עולה ל- ⅔.
לכן, בעיית מונטי הול מראה כי על המשתתף לשנות את בחירתו כדי למקסם את סיכוייו לבחור במכונית.
ניתן לראות מצב זה בתרשים העץ הבא. הסיכוי הכולל נמצא על ידי הכפלת ההסתברות של כל קטע. כמו כן, בסוף מתווספות ההסתברות לפגוע או לא לפגוע על ידי החלפת דלתות. לדוגמא, כאשר הפרס הוא על דלת 1 ואנחנו בוחרים פרס אחר (2 או 3), בשני המקרים הוא זוכה על ידי שינוי האפשרות. לכן, לטעות בפעם הראשונה (שהיא האפשרות הסבירה ביותר) מגדילה את סיכויי הזכייה שלך על ידי שינוי בחירתך. בינתיים, אם תבחר לשמור על האופציה הראשונית שלך, הסיכויים לזכייה זהים לזה בהתחלה: ⅓.
יש גם שיטות מתמטיות וסטטיסטיות מעודנות יותר שמראות שתוצאה זו מחזיקה. זה כך, גם כאשר הניסוי משוכפל על ידי הגדלת מספר השערים.
מדוע אנו יכולים לחשוב ששמירה על האפשרות הראשונה היא התשובה הנכונה?
חלק מהסיבות לכך שאנשים מסוימים לא בוחרים בפתרון הטוב ביותר הן:
- הם מונעים מכך שהאירועים אינם עצמאיים: זה קורה בגלל כישלון בפרשנות הגישה. במקרה זה מתעלמים מכך שפעולת המנחה לפתיחת דלת תלויה בבחירתו הראשונית של המשתתף.
- חלוקה לא נכונה של הסתברויות: פעולת המנחה משנה את הסיכויים הראשוניים. לאחר פתיחת הדלת, לדלת זו יש סיכוי 0 להכיל את הרכב. לכן, למשתתף יש כעת סיכוי של 50% לבחור את המכונית או העז על הדלתות שנותרו.