המרחק בין שתי נקודות ממד R במרחב הוא יישום השורש הריבועי על הווקטור שנוצר על ידי הנקודות המסודרות הללו.
במילים אחרות, המרחק בין שתי נקודות במרחב הוא מודולוס הווקטור שנוצר על ידי אותן נקודות.
המרחק בין שתי נקודות הוא לא יותר ממודול הווקטור שנוצר על ידי הנקודות הנתונות. לאחר חישוב המודול של הווקטור, כבר יהיה לנו המרחק בין שתי הנקודות.
נוּסחָה
בהתחשב בשתי הנקודות הבאות:
ואז, המרחק בין שתי הנקודות הללו יהיה מודול הווקטור שהם יוצרים:
לכן, המודול של וקטור זה יהיה המרחק בין שתי הנקודות הללו:
אורך השורש יהיה תלוי במספר הממדים שיש לנקודות. אם הם רק נקודות דו-ממדיות, יהיו רק שני מונחים בתוך השורש. מצד שני, אם לנקודות יש 6 ממדים, אז יהיו 6 אלמנטים בתוך השורש.
אומרים שיש להזמין את הנקודות מכיוון שבווקטורים, כמו במטריצות, ישנה חשיבות לסדר הגורמים והוא חיוני לפתרון בעיות נכון. וקטור שעובר מנקודה B לנקודה C אינו זהה לווקטור אחר שעובר מנקודה C לנקודה B.
באופן סכמטי:
מה ששני הווקטורים הקודמים חולקים הוא המרחק: גם הווקטור לפני הספירה וגם הווקטור CB שומרים על אותו מרחק בין הנקודות שלהם. במילים אחרות, יש להם את אותו מודול.
הסיבה לכך היא שההבדל בין שני הווקטורים הוא רק סימן הקואורדינטות שלהם. מכיוון שהמודול כולל יצירת ריבוע הקואורדינטות של הווקטור, הוא מייצר את אותו האפקט כאילו החילנו את הערך המוחלט. למעשה, זו הסיבה מדוע אנו מציינים את המודול של הווקטור עם שני הקווים המקבילים:
לאחר מכן מוחל את השורש כדי להסיר את השפעת ריבוע הרכיבים ולחזור לאותן יחידות.
מרחק בגיאומטריה אנליטית ובמציאות
כאשר עלינו לחשב מרחקים בגיאומטריה אנליטית אנו יכולים לעזור לעצמנו בדוגמאות אמיתיות. לדוגמא, אם נתבקש לחשב את המרחק בין שתי נקודות, כמו במקרה זה, אנו יכולים לדמיין את עצמנו כנקודת ההתחלה (נקודה B) ואובייקט כנקודת הסיום (נקודה C). אז נוכל למדוד את המרחק הזה על ידי חיסור בערך מוחלט בין נקודה אחת לשנייה. במילים טכניות אחרות, חישבו את המודול.
נראה שממיקוםנו לאובייקט ומהאובייקט אלינו יהיה אותו מרחק. בנוסף, מרחק זה תמיד יהיה חיובי, בין אם הוא 0 ומעלה. יכול להיות שאנחנו מחזיקים את האובייקט ולכן, המרחק הוא 0, או שהמטרה רחוקה, ולכן, מרחק חיובי.
דוגמה למרחק בין שתי נקודות
חשב את המרחק בין הנקודות הבאות:
