הכלל של לפלס - מה זה, הגדרה ומושג

הכלל של לפלס הוא שיטה המאפשרת לך לחשב במהירות את הקובע של מטריצה ​​מרובעת עם ממד 3 × 3 ומעלה באמצעות סדרת התרחבות רקורסיבית.

במילים אחרות, הכלל של לפלייס גורם למטריצה ​​הראשונית למטריצות ממדיות נמוכות יותר ומתאים את הסימן שלה בהתאם למיקום האלמנט במטריצה.

ניתן לבצע שיטה זו באמצעות שורות או עמודות.

מאמרים מומלצים: מטריצות, טיפולוגיות מטריקס וקובע מטריצה.

נוסחת הכלל של לפלס

ניתן מטריצה ז_mxn כל מימד mxn,כאשר m = n, הוא מתרחב ביחס לשורה ה- I, ואז:

• ד_ijהוא הקובע המתקבל על ידי ביטול השורה ה- I והעמודה ה- I של ז_mxn.

• M_ijהוא ה- i, j-th פָּחוּת. הקובע ד_ijבתפקוד של M_ijנקרא i, j-th גורם גורםשל המטריצה ז_mxn.
• ל הוא הגדרת השלט של המיקום.

דוגמה תיאורטית לכלל לפלס

אנו מגדירים ל_3×3 מה:

1. נתחיל עם האלמנט הראשון א₁₁. אנו מגרדים את השורות והעמודות המרכיבות₁₁. האלמנטים שנותרו ללא סורג, יהיו הקובעים הראשונים פָּחוּת מוכפל ב-₁₁.

2. אנו ממשיכים עם האלמנט השני בשורה הראשונה, כלומר ל-₁₂. אנו חוזרים על התהליך: אנו מגרדים את השורות והעמודות המכילות₁₂.

אנו מתאימים את סימן הקטין:

אנו מוסיפים את הקובע השני פָּחוּתלתוצאה הקודמת ואנחנו יוצרים סדרת הרחבה כך ש:

3. אנו ממשיכים עם האלמנט השלישי בשורה הראשונה, כלומר ל-₁₃. אנו חוזרים על התהליך: אנו מגרדים את השורה והעמודה המכילים₁₃.

אנו מוסיפים את הקובע השלישי פָּחוּת לתוצאה הקודמת ואנחנו מרחיבים את סדרת ההרחבות כך:

מכיוון שלא נותרו עוד אלמנטים בשורה הראשונה, אז אנו סוגרים את התהליך הרקורסיבי. אנו מחשבים את הגורמים הקובעים קטינים.

באותו אופן בו נעשה שימוש באלמנטים מהשורה הראשונה, ניתן ליישם שיטה זו גם בעמודות.

הדוגמה המעשית של לפלייס

אנו מגדירים ל_3×3מה:

1. נתחיל עם האלמנט הראשון r₁₁= 5. אנו מגרדים את השורות והעמודות המרכיבות₁₁= 5. האלמנטים שנותרו ללא סורג, יהיו הקובעים הראשונים פָּחוּת מוכפל ב-₁₁=5.

2. אנו ממשיכים עם האלמנט השני בשורה הראשונה, כלומר r₁₂= 2. אנו חוזרים על התהליך: אנו מגרדים את השורות והעמודות המכילות r₁₂=2.

אנו מתאימים את סימן הקטין:

אנו מוסיפים את הקובע השני פָּחוּת לתוצאה הקודמת ואנחנו יוצרים סדרת הרחבה כך ש:

3. אנו ממשיכים עם האלמנט השלישי בשורה הראשונה, כלומר r₁₃= 3. אנו חוזרים על התהליך: אנו מגרדים את השורה והעמודה המכילים r₁₃=3.

אנו מוסיפים את הקובע השלישי פָּחוּת לתוצאה הקודמת ואנחנו מרחיבים את סדרת ההרחבות כך:

הקובע של המטריצהר_3×3 הוא בן 15.