תקווה מתמטית - מה זה, הגדרה ומושג

הציפייה המתמטית של משתנה אקראי X היא המספר שמבטא את הערך הממוצע של התופעה שמשתנה זה מייצג.

הציפייה המתמטית, הנקראת גם הערך הצפוי, שווה לסכום ההסתברויות שקיים אירוע אקראי, כפול הערך של האירוע האקראי. במילים אחרות, זהו הערך הממוצע של מערך נתונים. זאת, בהתחשב בכך שהמונח ציפייה מתמטית נטבע על ידי תורת ההסתברות.

בעוד שבמתמטיקה, הערך הממוצע של אירוע שהתרחש נקרא ממוצע מתמטי. בהתפלגויות בדידות עם אותה הסתברות בכל אירוע, הממוצע החשבוני זהה לציפייה המתמטית.

דוגמה לציפייה מתמטית

בואו נראה דוגמה פשוטה להבנתה.

בואו נדמיין מטבע. שני ראשים, ראשים וזנבות. מה תהיה הציפייה המתמטית (הערך הצפוי) שהיא תצא מראשים?

הציפייה המתמטית תחושב כסבירות כי על ידי הטלת המטבע מספר רב מאוד של פעמים, הוא יעלה בראש.

מכיוון שהמטבע יכול לנחות רק באחת משתי העמדות הללו ולשתיהן יש את אותה ההסתברות לצאת, אנו נגיד שהציפייה המתמטית שהוא ייצא ראשים היא אחת מתוך שתיים, או מה זהה, 50% הזמן.

אנחנו הולכים לעשות בדיקה ואנחנו הולכים להפוך מטבע 10 פעמים. נניח שהמטבע מושלם.

סיבובים ותוצאה:

1. יָקָר.
2. לַחֲצוֹת.
3. לַחֲצוֹת.
4. יָקָר.
5. לַחֲצוֹת.
6. יָקָר.
7. יָקָר.
8. יָקָר.
9. לַחֲצוֹת.
10. לַחֲצוֹת.

כמה פעמים זה היה ראשי (אנחנו סופרים את ה- C)? פי 5 כמה פעמים הזנבות יצאו (אנחנו סופרים את ה- X)? 5 פעמים. ההסתברות להיות ראשים תהיה 5/10 = 0.5 או כאחוז 50%.

לאחר שהתרחש אירוע זה, אנו יכולים לחשב את הממוצע המתמטי של מספר הפעמים שכל אירוע התרחש. הצד היקר יצא אחת מכל פעמיים, כלומר 50% מהזמן. הממוצע תואם את הציפייה המתמטית.

חישוב ציפייה מתמטית

הציפייה המתמטית מחושבת על פי ההסתברות של כל אירוע. הנוסחה שמבססת חישוב זה נקבעת באופן הבא:

איפה:

• איקס = ערך אירוע.
• פ = הסיכוי לקרות.
• אני = תקופה בה מתרחש אירוע זה.
• נ = סך כל התקופות או התצפיות.

ההסתברות לאירוע לא תמיד זהה, כמו במטבעות. ישנם אינספור מקרים שבהם סביר יותר שאירוע אחד ייצא יותר מאחר. לכן אנו משתמשים ב- P. בנוסחה עלינו להכפיל גם את ערך האירוע בעת חישוב מספרים מתמטיים. להלן אנו רואים דוגמה.

למה משמשת הציפייה המתמטית?

הציפייה המתמטית משמשת בכל אותם תחומים שבהם נוכחותם של אירועים הסתברותיים אינהרנטית להם. תחומים כמו סטטיסטיקה תיאורטית, פיזיקה קוונטית, כלכלה, ביולוגיה או שווקים פיננסיים. מספר גדול של תהליכים ואירועים המתרחשים בעולם אינם מדויקים. דוגמה ברורה וקלה להבנה היא זו של שוק המניות.

בשוק המניות הכל מחושב על פי ערכים צפויים. מדוע ערכים צפויים? כי זה מה שאנחנו מקווים שיקרה, אבל אנחנו לא יכולים לאשר את זה. הכל מבוסס על הסתברויות, ולא על וודאות. אם הערך הצפוי או הציפייה המתמטית להחזרת נכס הם 10% בשנה, המשמעות היא שעל פי המידע שיש לנו מהעבר, סביר להניח שהתשואה תהיה שוב 10%. אם רק ניקח בחשבון, כמובן, ציפייה מתמטית כשיטה לקבלת החלטות ההשקעה שלנו.

במסגרת תיאוריות השוק הפיננסי, רבים משתמשים במושג זה של ציפייה מתמטית. בין התיאוריות הללו היא זו שפיתח מרקוביץ על ארנקים יעילים.

במספרים, לפשט הרבה, נניח שהתשואות של נכס פיננסי הן הבאות:

רווחיות בשנים 1, 2, 3 ו -4.

1. 12%.
2. 6%.
3. 15%
4. 12%

הערך הצפוי יהיה סכום ההחזרות כפול ההסתברות שלהם להתרחש. ההסתברות שכל רווחיות "קורה" היא 0.25. יש לנו ארבע תצפיות, ארבע שנים. בכל שנה יש את אותה ההסתברות לחזור על עצמם.

תקווה = (12 x 0.25) + (6 x 0.25) + (15 x 0.25) + (12 x 0.25) = 3 + 1.5 + 3.75 + 3 = 11.25%

אם ניקח בחשבון מידע זה, נגיד כי הצפי לתשואה על הנכס הוא 11.25%.

תוחלת חיים