גיאומטריה אנליטית - מהי, הגדרה ומושג

גיאומטריה אנליטית היא ענף גיאומטריה החוקר גופים גיאומטריים באמצעות מערכת קואורדינטות. באופן זה ניתן לבטא את הנתונים כמשוואות אלגבריות.

הגיאומטריה האנליטית מאתרת, במישור דו-ממדי, את כל הנקודות המרכיבות דמות. כל זאת, בהתבסס על שני קווים, ציר הבסיסים (ציר אופקי איקס) והסמיך (ציר אנכי י).

צירים איקס ו י הם מאונכים. כלומר, הם יוצרים ארבע זוויות 90 מעלות (מעלות) בצומת שלהם. באופן זה אנו עובדים במערכת קואורדינטות המכונה המישור הקרטזיאני.

לכל נקודה במישור יש קואורדינטות מהסוג הבא (איקס,י). לפיכך, נקודה (3,8) היא זו שעולה מחיבור נקודה 3 על הציר האופקי ונקודה 8 על הציר האנכי.

עובדה חשובה להזכיר היא שהפילוסוף רנה דקארט נחשב לאבי הגיאומטריה. במיוחד לאחר פרסום עבודתו "השיח על שיטה", ובמיוחד באחד הנספחים שלה שנקרא La Géométrie.

לשם פשטות, מה שמציעה הגיאומטריה האנליטית הוא לאחד אלגברה עם גיאומטריה או, ליתר דיוק, להחיל את המשמעת הראשונה על השנייה, כפי שיתבהר להלן.

דוגמאות לגיאומטריה אנליטית

על ידי יישום גאומטריה אנליטית אנו יכולים לתאר דמות גיאומטרית באמצעות משוואה אלגברית.

במקרה של קו, למשל, אנו יכולים להגדיר אותו כמשוואה מדרגה ראשונה כדלקמן:

y = xm + b

במשוואה המוצגת, י הוא הקואורדינטה על ציר התאם (אנכי), איקס הוא הקואורדינטה על ציר הבסיס (אופקי), M הוא השיפוע (הנטייה) של הקו ביחס לציר אבסיסה, ו ב היא הנקודה בקו החוצה את ציר הסמיכה.

לדוגמא, אנו יכולים לשרטט את הקו בעזרת המשוואה: y = -0.5x + 3

לדעת את המשוואות של שתי שורות, נוכל לדעת למשל אם הן מקבילות. כלומר, הם לא מצטלבים בשום שלב. במקרה זה, המדרון (M) בשתי המשוואות צריך להיות זהה, רק הנקודה בה הצירים מצטלבים היא שונה איקס ו י.

כמו כן, אם הקווים אינם מקבילים, תמיד תוכלו למצוא את הנקודה בה הם מצטלבים (אלא אם כן הם מקבילים או קווים זהים).

סוג נוסף של דמויות גיאומטריות שניתן לתאר באמצעות משוואות הם מעגלים. במקרה זה תהיה לנו משוואה ריבועית, כמו הבאה:

כדי להסביר את המשוואה הנ"ל, בואו ניקח בחשבון את המרכז שלה כנקודה (ל,ב) של המטוס הקרטזיאני. כמו כן, כל אחת מהנקודות על ההיקף נמצאת על הקואורדינטה (איקס,י), ורדיוס הדמות הוא ר.

בשורה זו, לפרבולות יש את הצורה הבאה: y = ax² + bx + c.