הטרפז השווה שוקיים הוא אחד בו שני הצדדים הלא מקבילים שלו, אלה המצטרפים לשני בסיסי הדמות, הם בעלי אורך זהה.
יש לזכור כי טרפז הוא רב-צדדי (מצולע ארבע-צדדי) המאופיין בשני צדדים הנקראים בסיסים. אלה מקבילים (הם לא חוצים, גם לא אם הם ממושכים) ובאורכים שונים. כמו כן, שני הצדדים האחרים שלה אינם מקבילים.
הטרפז השווה שוקיים הוא אחד משלושה סוגים של טרפז, יחד עם הטרפז הימני והטרפז הסקלני.
מאפייני הטרפז השווה שוקיים
בין המאפיינים של טרפז שווה שוקיים בולטים:
- באיור שלהלן, אם הטרפז הוא שווה שוקיים, הצדדים AB ו- CD הם באותו אורך.
- שתי הזוויות הפנימיות, הממוקמות על אותו בסיס, מודדות זהה. אם אנו מונחים על ידי התמונה למטה, הדבר נכון: α = β ו- δ = γ.
- האלכסונים באיור, AC ו- DB, הם באותו אורך.
- זוויות הפנים, הפוכות, משלימות. כלומר, הם יוצרים זווית ישרה. בתמונה התחתונה נצפה הבא: α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180º.
- שתיים מהזוויות הפנימיות שלה חריפות (פחות מ 90 מעלות), ואילו שתי האחרות הן עמומות (יותר מ 90 מעלות). לפיכך, באיור שלהלן, α ו- β הם עמומים, בעוד ש- γ ו- γ הם חריפים.
- ארבע הזוויות הפנימיות מסתכמות ב -360 מעלות.
- הטרפז השווה שווה הוא הסוג היחיד של הטרפז שניתן לרשום על היקף. כלומר, ארבעת הקודקודים שלו יכולים לעבור במעגל המעגל (ראה ציור למטה).
- יש לו ציר סימטריה, שיהיה קו EF בתמונה למטה. זה ניצב לבסיסים (יוצר זווית ישרה או 90º) וחותך אותם בנקודת האמצע שלהם. לפיכך, בעת ציור הציר האמור, המצולע מחולק לשני חלקים סימטריים. כלומר, כל נקודה בצד אחד תואמת לנקודה בצד השני, שתיהן במרחק שווה מציר הסימטריה. לדוגמא, המרחק בין נקודה B לנקודה F הוא אותו מרחק שקיים בין נקודה F לנקודה C.
היקף ושטח הטרפז השווה שוקיים
כדי להבין טוב יותר את המאפיינים של טרפז שווה שוקיים, אנו יכולים לחשב את המידות הבאות:
- היקפי: אנו מוסיפים את אורך כל צד של האיור: P = AB + BC + CD + AD.
- אֵזוֹר: כמו בכל טרפז, כדי למצוא את שטחו מוסיפים את הבסיסים, מחולקים לשניים ומכופלים בגובה. כפי שצוין בנוסחה המוצגת להלן:
כעת, כדי לחשב את הגובה נוכל לצייר שני גבהים מהקודקודים A ו- D, כפי שניתן לראות באיור להלן:
יש לנו, אם כן, את המשולש ADFG; כאשר AD שווה ל- FG, והמשולשים שנוצרו בצדדים חופפים. לכן, BF זהה ל- GC. נניח ששניהם מודדים ל.
לכן, נכון יהיה:
כעת נציין כי המשולשים שנוצרו לרוחב הם משולשים נכונים, ולכן ניתן ליישם את משפט פיתגורס. לדוגמא, במשולש ABF, AB הוא ההיפוטנוזה, בעוד ש- AF (הגובה שנקרא h) ו- BF הם הרגליים.
עלינו לזכור כי AB זהה ל- DC. לפיכך, אם נחליף את האמור לעיל בנוסחה לאזור, יהיה לנו השטח כפונקציה של דפנות הטרפז:
דרך נוספת לחישוב שטח הטרפז היא על ידי הכפלת האלכסונים, חלוקה בשניים ומכפלת בסינוס הזווית שהם יוצרים כאשר הם מצטלבים, וזוכר כי שני האלכסונים שווים:
ראוי לציין כי בצומת האלכסונים הזוויות הנגדיות שוות והצמודות שלהן היא הזווית המשלימה שלהן.
בידיעה אם כן כי סינוס הזווית שווה לסינוס הזווית המשלימה שלו, ניתן לבחור כל אחת מהזוויות בהצטלבות האלכסונים.
לסיכום, בתמונה למטה נכון כי: α = γ, β = δ ו- α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180º
כדי למצוא את האלכסון נוכל להשתמש בנוסחה הבאה:
לכן האזור יהיה:
דוגמה לטרפז שווה שוקיים
בואו נדמיין שיש לנו טרפז עם בסיסים שגודלם 4 ו -8 מטר, בעוד שהצדדים הלא מקבילים מודדים 3.6 מטר כל אחד, שניהם שווים (כך שהטרפז הוא שווה שוקיים), כמה זמן ההיקף (P), השטח ( א) והאלכסון (ד) של הדמות?
