משפט בייס - מה זה, הגדרה ומושג

משפט בייס משמש לחישוב ההסתברות לאירוע, שיש לו מידע מראש על אותו אירוע.

אנו יכולים לחשב את ההסתברות לאירוע A, גם לדעת ש- A ממלא מאפיין מסוים הקובע את ההסתברות שלו. משפט בייס מבין את ההסתברות באופן הפוך למשפט ההסתברות הכולל. משפט ההסתברות הכולל מסיק לגבי אירוע B, מתוצאות האירועים A. מבחינתו, בייס מחשב את ההסתברות ש- A מותנה ב- B.

משפט בייס נחקר רבות. אשר נבע בעיקר בגלל היישום הגרוע שלו. מכיוון שכל עוד מתקיימות הנחות היסוד של אירועים מנותקים וממצים, המשפט תקף לחלוטין.

נוסחת משפט בייס

כדי לחשב את ההסתברות כפי שהוגדרה על ידי בייס באירוע מסוג זה, אנו זקוקים לנוסחה. הנוסחה מוגדרת מתמטית כ:

איפה B הוא האירוע שעליו יש לנו מידע קודם ו- A (n) הם האירועים המותנים השונים. בחלק של המונה יש לנו את ההסתברות המותנית, ובחלק התחתון את ההסתברות הכוללת. בכל מקרה, למרות שהנוסחה נראית מעט מופשטת, היא מאוד פשוטה. כדי להדגים זאת, נשתמש בדוגמה שבמקום A (1), A (2) ו- A (3), נשתמש ישירות ב- A, B ו- C.

דוגמה למשפט בייס

לחברה יש מפעל בארצות הברית שיש בו שלוש מכונות, A, B ו- C, שמייצרות מיכלים לבקבוקי מים. מכונה A ידועה כמייצרת 40% מהכמות הכוללת, מכונה B 30% ומכונה C 30%. ידוע כי כל מכונה מייצרת אריזות פגומות. באופן כזה שמכונה A מייצרת 2% מחבילות פגומות מסך הייצור שלה, מכונה B 3% ומכונה C 5%. עם זאת, שתי שאלות עולות:

P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02

P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03

P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05

1. אם מיכל מיוצר על ידי מפעל של חברה זו בארצות הברית, מה הסבירות שהוא פגום?

מחושבת ההסתברות הכוללת. מכיוון שמאירועים שונים אנו מחשבים את ההסתברות שהוא לקוי.

P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0.02) + (0.3 x 0.03) + (0.3 x 0.05) = 0.032

מבוטא באחוזים, היינו אומרים שההסתברות שמכולה המיוצר על ידי מפעל של חברה זו בארצות הברית פגומה היא 3.2%.

2. בהמשך לשאלה הקודמת, אם מיכל נרכש והוא פגום, מה הסבירות שהוא מיוצר על ידי מכונה A? ועל ידי מכונה B? ועל ידי מכונה C?

משפט של בייס משמש כאן. יש לנו מידע קודם, כלומר אנו יודעים שהאריזה לקויה. כמובן, בידיעה שהוא פגום, אנו רוצים לדעת מהי ההסתברות שהוא הופק על ידי אחת המכונות.

P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0.40 x 0.02) / 0.032 = 0.25

P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0.30 x 0.03) / 0.032 = 0.28

P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0.30 x 0.05) / 0.032 = 0.47

הידיעה שמכולה פגומה, ההסתברות שהיא הופקה על ידי מכונה A היא 25%, שהיא מיוצרת על ידי מכונה B היא 28% וכי היא הופקה על ידי מכונה C היא 47%.