הגורם המשותף הגדול ביותר (GCF)

המחלק המשותף הגדול ביותר (GCF) הוא המספר הגדול ביותר שבאמצעותו ניתן לחלק שני מספרים או יותר. זאת, מבלי להשאיר שום שאריות.

כלומר, המחלק המשותף הגדול ביותר או GCF הוא הנתון הגבוה ביותר לפיו ניתן לחלק קבוצה של מספרים, וכתוצאה מכך מספר שלם.

מחלק יכול להיות מוגדר רשמית כמספר זה הכלול בכמות בדיוק כמות n פעמים.

יש לציין כי המספרים עליהם מחושב ה- GCF חייבים להיות אפסים.

כדי להסביר את זה טוב יותר, בואו נסתכל על דוגמא. נניח שיש לנו 35 ו 15. לפיכך, אנו צופים במה הם המחלקים של כל אחד מהם:

• מחלקים של 35 → 35,7,5,1
• מחלקים של 15 → 15,5,3,1

לכן, הגורם הנפוץ הגדול ביותר של 35 ו -15 הוא 5.

ראוי להזכיר שאם המחלקים המשותפים של שני מספרים הם רק 1 ו- -1, הם נקראים "ראשוניים זה לזה".

שיטות לחישוב המחלק המשותף הגדול ביותר

אנו יכולים להבחין בין שלוש השיטות הבאות לחישוב המחלק המשותף הגדול ביותר:

• פירוק גורם ראשוני: המספרים מפורקים למספרים ראשוניים. ואז, כדי לחשב את ה- GCF, ניקח את המספרים המשותפים שהועלו לעוצמה הנמוכה ביותר. לדוגמה, נניח שיש לנו 216 ו -156:

216/2=108

108/2=54

54/2=27

27/3=9

9/3=3

3/3=1

216=(3^3)*(2^3)

156/2=78

78/2=39

39/3=13

13/13=1

156=13*3*(2^2)

לכן, המחלק המשותף הגדול ביותר בין שני המספרים יהיה: (2 2) * 3 = 12

נניח שיש לנו שלושה אלמנטים: 315, 441 ו- 819

315= (3^2)*7*5

441= (3^2)*(7^2)

819= (3^2)*7*13

לאחר מכן, לאחר שיברג אותם, לקח כל מחלק עם הכוח הנמוך ביותר שלו, התוצאה תהיה:

GCF = (3 2) * 7 = 63

• האלגוריתם של אוקלידס: כשמתחלקים ל היכנס ב, מתקבל מנה ג ו ר. אז, המחלק המשותף הגדול ביותר של ל י ב זהה ל ב י ר. זאת, לאור הדברים הבאים: a = bc + r. כדי להבין את זה טוב יותר, בוא נשתמש בשיטה זו על הדוגמה שהוצגה קודם לכן עם 216 ו- 156.

216/156 = 1 עם שארית 60

עכשיו אנו מחלקים 156/60 = 2 עם שארית 36

אנו מחלקים שוב 60/36 = 1 בשארית 24

שוב אנו מחלקים 36/24 = 1 בשארית 12

ולבסוף אנו מחלקים 24/12 = 2 עם שארית 0

לכן, המחלק המשותף הגדול ביותר הוא 12. כפי שאנו רואים, עלינו להתחלק עד שהיתר יהיה 0 והמחלק האחרון יהיה ה- GCF.

• מבוסס על הכפולה הכי פחות נפוצה: המספרים מוכפלים והתוצאה מחולקת במספר הנפוץ ביותר שלהם (LCM).

עלינו לזכור שהמכפל הפחות נפוץ (LCM) הוא הנתון הקטן ביותר העונה על התנאי להיות מכפיל מכל האלמנטים של קבוצת מספרים.

כלומר, אם נחזור לאותה דוגמה, אנו יכולים להתפרק באופן הבא:

216 = (3 3) * (2 3) ו- 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7

הכפול הנפוץ ביותר יהיה: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152

אז: GCD = 216 * 156 / 2.808 = 12

ראוי להזכיר כי שיטה זו עובדת רק עבור שני מספרים.