הסתברות אחורית - מהי, הגדרה ומושג

ההסתברות האחורית היא זו המחושבת על סמך נתונים שכבר ידועים לאחר תהליך או ניסוי.

ההסתברות האחורית היא, אם כן, זו שלא נאמדת על סמך השערות או ידע מוקדם כלשהו לגבי התפלגות ההסתברות, כמו בהסתברות הקודמת.

כדי להבין את זה טוב יותר, בואו נסתכל על דוגמא.

נניח שחברה מפתחת מוצר טואלטיקה חדש, למשל שמפו. לפיכך, החברה מעריכה קבוצה של מתנדבים כדי לבדוק אם אחוז מהם מפתחים קשקשים לאחר השימוש במוצר.

כך, למשל, מתקבל כי ההסתברות האחורית שגבר בוגר יפתח קשקשים בעת ניסיון מוצר חדש זה היא 2%.

במקום זאת, דוגמה להסתברות א-פריורית מתרחשת כאשר לפני גלגול מת, אנו מניחים כי קיימת אותה הסתברות שכל אחד מששת המספרים יתגלגל כתוצאה, כלומר 1/6.

היסטוריה של הסתברות

הסתברות אחורית ומשפט בייס

כדי לפתור תרגילים עם הסתברויות אחוריות, אנו נעזרים בדרך כלל במשפט של בייס, שהנוסחה שלו היא הבאה:

בנוסחה שלעיל, B הוא האירוע שיש לנו מידע עליו ו- A (n) הם האירועים המותנים השונים. כלומר במניין יש לנו את ההסתברות המותנית, שהיא האפשרות שאירוע B מתרחש בהתחשב בכך שאירוע אחר התרחש_נ. בעוד שבמכנה אנו צופים בסכום האירועים המותנים, שישווים את ההסתברות הכוללת להתרחשות אירוע B, בהנחה שאף אחד מהאירועים המותנים האפשריים לא נותר בחוץ.

עדיף בואו נראה, בחלק הבא, דוגמה כך שיבינו אותה טוב יותר.

דוגמה להסתברות אחורית

נניח שיש לנו 4 כיתות שהוערכו באותה בחינה.

בקבוצה או בכיתה הראשונה, שקראנו לה A, 60% מהתלמידים עברו את ההערכה, ואילו בשאר הכיתות, אותן נקרא B, C ו- D, אחוז המעבר היה 50%, 56% ו 64% בהתאמה. אלה יהיו הסתברויות אחוריות.

עובדה נוספת שיש לקחת בחשבון היא שבכיתות A ו- B לומדים 30 תלמידים, בעוד בכיתות C ו- D 25 כל אחת. אז אם נבחר, בין הבחינות של ארבע הקבוצות, הערכה אקראית ומתברר שיש ציון עובר, מה הסבירות שהיא שייכת לכיתה א '?

לצורך חישובו, נשתמש במשפט של בייס, כאשר A_נ האירוע המותנה שהבחינה שייכת לתלמיד בכיתה א 'וב' העובדה שהציון עובר:

פ (א_נ/ B) = (0.6 * 30/110) / ((0.6) * (30/110) + (0.5) * (30/110) + (0.56) * (25/110) + (0.64) * (25 / 110))

פ (א_נ/ B) = 0.1636 / 0.5727 = 0.2857

יש לציין כי אנו מחלקים את מספר התלמידים מכיתה X במספר התלמידים הכולל בארבע הקבוצות כדי לגלות את ההסתברות שהתלמיד הוא מכיתה X.

התוצאה אומרת לנו שיש סבירות של כ 28.57% שאם נבחר בחינה אקראית ויש לה ציון עובר, היא תהיה מכיתה א '.