קבע אלגברה - מה זה, הגדרה ומושג

אלגברה קבוצה היא תחום לימוד, בתוך מתמטיקה ולוגיקה, המתמקד בפעולות שניתן לבצע בין קבוצות.

קבוצה של אלגברה היא חלק ממה שאנחנו מכירים כתורת הקבוצות.

יש לזכור כי סט הוא קיבוץ של אלמנטים מסוגים שונים, כגון אותיות, מספרים, סמלים, פונקציות, דמויות גיאומטריות, בין היתר.

הגדר פעולות

הפעולות העיקריות עם סטים הן הבאות:

• הִתאַחֲדוּת: האיחוד של שתי קבוצות או יותר מכיל את כל האלמנטים השייכים לפחות לאחת מהקבוצות הללו. זה מסומן באות U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• הִצטַלְבוּת: צומת שתי קבוצות או יותר כולל את האלמנטים שסטים אלה חולקים. זה מצוין על ידי U הפוך (∩). דוגמא:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• הֶבדֵל: ההבדל של קבוצה אחת ביחס למשנהו שווה לאלמנטים של הקבוצה הראשונה פחות האלמנטים של השנייה. זה מסומן על ידי הסמל או -. נצפה בדרך אחרת, x ∈ a A B אם x ∈ A, אבל x ∉ B. דוגמה:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• מַשׁלִים: ההשלמה של סט כוללת את כל האלמנטים שאינם כלולים בערכה ההיא (אך כן שייכים לקבוצת ייחוס אחרת אוניברסאלית). זה מצוין על ידי כתב העל. ג. דוגמה:

A = (3,9,12,15,18)

U (יקום) = כל הכפולות של 3 שהם מספרים טבעיים שלמים פחות מ -30.

ל^ג=(6,21,24,27)

• הבדל סימטרי: ההבדל הסימטרי של שתי קבוצות כולל את כל האלמנטים שנמצאים זה או אחר, אך לא שניהם בו זמנית. כלומר, זהו איחוד הסטים מינוס צומתם. הסמל שלה הוא Δ. דוגמא:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• מכפלה קרטזית: מדובר בפעולה המביאה לסט חדש, המכיל כאלמנטים את הזוגות המסודרים או את הצמרות (סדרה מסודרת) של האלמנטים השייכים לשתי קבוצות או יותר. הם מזמינים זוגות אם מדובר בשתי סטים ובצמדים אם יש לנו יותר משני סטים. דוגמא:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

חוקי אלגברה קבוצה

חוקי האלגברה הקבועה הם כדלקמן:

• חוסר יכולת: האיחוד או הצומת של קבוצה עם עצמה גורמים לאותה קבוצה:

XUX = X

X∩X = X

• חִלוּפִי: סדר הגורמים אינו משנה את התוצאה במציאת האיחוד או צומת הסטים:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• מפיץ: האיחוד של קבוצה X, עם החיתוך של שתי קבוצות אחרות Y ו- Z, שווה לצומת האיחוד של X ו- Y, עם האיחוד של X ו- Z. כלומר:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

יתר על כן, הדבר נכון גם אם נהפוך את סדר הפעולות:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• אסוציאטיבי: ניתן לקבץ את תנאי איחוד או פעולת צומת של מספר קבוצות באופן לא ברור, ותמיד להשיג את אותה התוצאה:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• חוק מורגן: השלמת האיחוד של שתי קבוצות שווה לחיתוך המשלים שלהן, והשלמת החיתוך של שתי קבוצות שווה לאיחוד המשלים שלהן.

(XUY)^ג= X^ג∩Y^ג

(X∩Y)^ג= X^גאוי^ג

• חוק ההבדל: ההבדל של מערך אחד ביחס למשנהו שווה לצומת הראשון עם השלמת השנייה:

(X-Y) = X∩Y^ג

• חוקי השלמה:
  • איחוד הסט עם השלמתו אינו שווה לסט האוניברסלי. XUX^ג= U
  • הצומת של הסט עם השלמתו שווה לסט האפס או הריק. X∩X^ג=∅
  • השלמת המשלים של קבוצה X שווה לערכה X. (X^ג)^ג= X
  • השלמת הסט האוניברסלי שווה לסט האפס או הריק. איקס^ג=∅
  • השלמת הסט הריק שווה לסט האוניברסלי. ∅^ג= U

• חוקי הקליטה:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^ג∩Y) = XUY
  • X∩ (X^גUY) = X∩Y