ניתוח מתמטי הוא ענף במתמטיקה. זה מתמקד בחקר המספרים האמיתיים והמורכבים, כמו גם בייצוגם; אפילו באמצעות אותיות.
ניתוח מתמטי, בפרט, עוסק בנושאים כמו נגזרות, אינטגרלים, גבולות, סדרות וסוגים שונים של פונקציות מורכבות.
מטרת הניתוח המתמטי היא לפתור חישובים מורכבים באמצעות הפשטה. לשם כך היא משתמשת בכלים כגון פונקציות.
היסטוריה של ניתוח מתמטי
ההיסטוריה של הניתוחים המתמטיים מתוארכת ליוון הקלאסית. המתמטיקאים יודוקוס מקנידוס וארכימדס השתמשו, אם כי מבלי לפתח אותם בצורה רשמית, במושגים כמו גבול והתכנסות. זאת, לחישוב השטח והנפח של דמויות גיאומטריות.
מאוחר יותר, במאה ה -12, המתמטיקאי ההינדי בהאסקרה פיתח אלמנטים של חשבון הדיפרנציאל. אז במאה ה -14, מתמטיקאי הינדי אחר בשם Madhava התמסר לחקר סוגים שונים של סדרות מתמטיות כמו סדרות אינסופיות, סדרות כוח וסדרות טיילור.
במשך הזמן, במאה השבע עשרה, התרחש מה שיש הרואים כמקור האמיתי של הניתוח המתמטי. כל זאת, לאחר הופעתם של התפתחויות כמו אלה של אייזיק ניוטון, גוטפריד וילהלם לייבניץ ופייר דה פרמט באזור החשבון.
כך, במאה ה -18 המשיכו ההתקדמות בנושאים אחרים כמו משוואות דיפרנציאליות, והדגישו כבר במאה ה -19 דמויות בתחום זה כמו זו של המתמטיקאי אוגוסטין לואי קוך, סימאון דניס פואסון, ז'אן בפטיסט ג'וזף פורייה, ברנהרד. רימן, קרל וויירשטראס, ריצ'רד דדקינד, קמיל ג'ורדן ורנה לואי באייר.
עם כל הבסיס הזה, במאה ה -20 בולטים אנרי ליאון לבג, דייוויד הילברט וסטפן בנך. שני האחרונים הללו הוקדשו לחקר חללים וקטוריים.
תחומי ניתוח מתמטי
הניתוח המתמטי מכסה את התחומים הבאים:
- ניתוח אמיתי: זהו חקר נגזרים ואינטגרלים, כמו גם גבולות וסדרות. הוא כולל משוואות דיפרנציאליות, גיאומטריה דיפרנציאלית, תורת ההסתברות (ענף במתמטיקה החוקר אירועים אקראיים) וניתוח מספרי (ענף במתמטיקה החוקר את השיטות להשגת הפתרון המשוער לבעיה).
- ניתוח לא אמיתי: זה הניתוח של גופים שאינם מספרים אמיתיים. למשל, מספרים מורכבים. במילים אחרות, אלה שניתן לייצג כסיכום של מספר ממשי ומספר דמיוני.
- ניתוח פונקציונלי: ענף המתמטיקה החוקר את מרחב הפונקציות. זוהי קבוצה של פונקציות מערכה A לסט B.
- טופולוגיה: ענף המתמטיקה החוקר את המאפיינים של דמויות או גופים גיאומטריים, שתכונותיהם אינן משתנות כאשר הם מכווצים, מורחבים או מעוותים.