משפט הגבול המרכזי (TCL)

משפט הגבול המרכזי (TCL) הוא תיאוריה סטטיסטית הקובעת כי בהינתן מדגם אקראי גדול דיו של האוכלוסייה, התפלגות אמצעי המדגם תלווה בהתפלגות נורמלית.

יתר על כן, ה- TCL קובע שככל שגודל המדגם גדל, ממוצע המדגם יתקרב לממוצע האוכלוסייה. לכן, באמצעות TCL אנו יכולים להגדיר את התפלגות ממוצע המדגם של אוכלוסיה מסוימת עם שונות ידועה. כך שההפצה תבוא לפי התפלגות נורמלית אם גודל המדגם גדול מספיק.

המאפיינים העיקריים של משפט הגבול המרכזי

למשפט הגבול המרכזי יש סדרה של מאפיינים שימושיים מאוד בתחום הסטטיסטי וההסתברותיות. העיקריים שבהם הם:

• אם גודל המדגם גדול מספיק, התפלגות אמצעי הדגימה תעקוב בערך אחרי התפלגות נורמלית. ה- TCL מחשיב מדגם כגדול כאשר גודלו גדול מ- 30. לכן, אם המדגם גדול מ- 30, לממוצע המדגם תהיה פונקציית התפלגות הקרובה לדגם רגיל. וזה נכון ללא קשר לצורת ההפצה איתה אנו עובדים.
• ממוצע האוכלוסייה וממוצע המדגם יהיו זהים. כלומר, ממוצע ההתפלגות של כל אמצעי המדגם יהיה שווה לממוצע של כלל האוכלוסייה.
• השונות של התפלגות אמצעי הדגימה תהיה σ² / n. שהוא השונות של האוכלוסייה חלקי גודל המדגם.

שהפצה של אמצעי הדגימה דומה למצב נורמלי זה מאוד שימושי. מכיוון שקל מאוד להחיל את ההתפלגות הנורמלית לביצוע מבחני השערה ובניית רווחי ביטחון. בסטטיסטיקה שהפצה היא נורמלית זה די חשוב, מכיוון שסטטיסטיקות רבות דורשות הפצה מסוג זה. בנוסף, ה- TCL יאפשר לנו להסיק על ממוצע האוכלוסייה דרך ממוצע המדגם. וזה מאוד שימושי כאשר, בשל היעדר אמצעים, איננו יכולים לאסוף נתונים מאוכלוסייה שלמה.

דוגמה למשפט הגבול המרכזי

בואו נדמיין שאנחנו רוצים לנתח את התשואות הממוצעות ההיסטוריות של מדד S&P 500, שכידוע יש בתוכו כ -500 חברות. אך אין לנו מספיק מידע לניתוח כל 500 החברות במדד. במקרה זה, הרווחיות הממוצעת של S&P 500 תהיה הממוצע לאוכלוסייה.

כעת, בעקבות ה- TCL נוכל לקחת מדגם של 500 חברות אלה לביצוע הניתוח. המגבלה היחידה שיש לנו היא שבמדגם חייבות להיות יותר מ -30 חברות כדי שתממש את המשפט. אז בואו נדמיין שאנחנו בוחרים באופן אקראי 50 חברות מהמדד ונחזור על התהליך מספר פעמים. השלבים הבאים בדוגמה יהיו הבאים:

• אנו בוחרים את המדגם של כ- 50 חברות ומקבלים את הרווחיות הממוצעת של המדגם כולו.
• אנו בוחרים ברציפות 50 חברות ומקבלים את הרווחיות הממוצעת.
• התפלגות כל התשואות הממוצעות של כל הדגימות שנבחרו תתקרב להתפלגות רגילה.
• התשואות הממוצעות של כל הדגימות שנבחרו יערכו את ההחזר הממוצע של המדד הכולל. כפי שמוצג במשפט הגבולות המרכזי.

לכן, על פי הסקת התשואה הממוצעת של המדגם אנו יכולים להתקרב לתשואה הממוצעת של המדד.