מטריצת השונות-משתנות היא מטריצה מרובעת של ממד nxm האוספת את השונות באלכסון הראשי וההשתנות באלמנטים מחוץ לאלכסון הראשי.
במילים אחרות, מטריצת השונות-משתנות היא מטריצה שיש לה מספר זהה של שורות ועמודים ויש לה את השונות המופצת על האלכסון הראשי וההשתנות על האלמנטים מחוץ לאלכסון הראשי.
משתנותייצוג מטריקס
מטריצת השונות-משתנות מתבטאת בדרך כלל כ-
למרות שנראה כי זהו סמל הסיכום וכי אין לו קשר למטריצת השונות-משתנות, אות יוונית זו מייצגת באופן מושלם את תוכן המטריצה הזו.
כדי להבין את זה, נסתכל תחילה על הביטוי שלה:
לדעת שיש M עמודות, האליפסה מציינת שהעמודות בין העמודה השנייה לאחרונה הושמטו. באופן דומה, לדעת שיש נ שורות, האליפסה מציינת שהשורות בין השורה השנייה לשורה האחרונה הושמטו.
במקרה זה, אנו משתמשים בסיגמה כדי לייצג את הקובאריות ואת הסיגמה בריבוע עבור השונות. לדוגמא:
איזה אות יוונית מופיעה בכל מרכיבי המטריצה? הסיגמה.
לכן, זה הגיוני שכדי להגדיר את מטריצת השונות-משתנות, משתמשים גם בסיגמה.
מכתב יווני
היא צורת ההון של
אז אם נזכור שמטריצת השונות-משתנות באה לידי ביטוי כרישיות של סיגמה, יהיה קל יותר לזכור את ההגדרה שלה.
דרישות שזו תהיה מטריצת שונות-משתנות
הדרישות למטריצה להיות שונות-משתנות הן הבאות:
- מטריצה מרובעת: אותו מספר שורות (n) כמו עמודות (m), ואז, n = m, ולכן ניתן לבטא את הממד של מטריצה זו גם nxm וגם nxn.
- בתוך ה אלכסון ראשי יש שונות:
- מחוץ לאלכסון הראשי יש קובריות:
אפליקציה
מטריצת השונות-משתנות פופולארית מאוד באקונומטריה מכיוון שהיא משמשת בעיקר לחישוב המטריצה של מקדמי הרגרסיה הליניארית תוך שימוש בין ריבועים נמוכים פחות.
במימון משתמשים בו בכדי לקבל תמונה כללית על תנודתיות הנכסים הפיננסיים.
ביטוי מתמטי של שונות ומשתנות
המתמטיקה מתבטאת באופן הבא:
- המשתנות של היסוד n = 1 ו- m = 2
- שונות האלמנט n = 1 ו- m = 1
ניתן לתקן גם שונות וגם שונות. כלומר, המכנה הוא n-1 במקום n. זה נובע ממידות החופש ותלוי אם אנחנו מדברים על אוכלוסייה או על דמיון וסטיות מדוגמיות.
