צומת אירועים - מה זה, הגדרה ומושג

צומת האירועים הוא פעולה שתוצאתה מורכבת מאירועים לא חוזרים ונפוצים של שתי מערכות או יותר.

במילים פשוטות יותר, בהינתן שני אירועים A ו- B, נגיד שהצומת שלהם מורכב מהאירועים האלמנטריים המשותפים להם. נוכל גם לציין כי צומת האירועים מרמז על תשובה לשאלה: מה הסבירות ש- A ו- B יתרחשו בו זמנית?

הסמל שבעזרתו מסומן הצומת הוא הבא: ∩. זה כמו U הפוך. לפיכך, אם נרצה לציין את צומת A ו- B, היינו מציבים: A ∩ B

הכללה של צומת האירועים

בהסבר, עד כה ראינו צומת של שני אירועים. לדוגמא, A ∩ B או B ∩ A. עכשיו, מה קורה אם יש לנו יותר משני אירועים?

הכללת צומת האירועים נותנת לנו פתרון לציון הצומת, למשל, של 50 אירועים. נניח שיש לנו 7 אירועים, נשתמש בסימון הבא:

במקום לקרוא לכל אירוע A, B או כל אות, אנחנו הולכים להתקשר ל- Yes. S הוא האירוע והמנוי i מציין את המספר. בדרך זו תהיה לנו, בדוגמה של 7 אירועים, את הנוסחה הבאה:

מה שעשינו הוא לפתח את הסימון. זה פשוט לראות מה זה אומר, אבל רק על ידי הצבת מה שנמצא לפני השווה תדע מה מרמז על התפתחות זו. באמור לעיל, באופן אינטואיטיבי, היינו אומרים 'יציאה S1 ויציאה S2 ויציאה S3 ויציאה S4 ויציאה S5 ויציאה S6 ויציאה S7'. כלומר, הם יהיו המרכיבים הנפוצים שיש ל -7 האירועים.

צומת של אירועים לא-נפרדים ולא-מפרקים

צומת האירועים המופרדים פשוט לא יכול להתקיים. ברור שאם שני אירועים אינם מחוברים, אנו נגיד שאין להם מרכיבים משותפים. ואם אין להם אלמנטים משותפים, התוצאה היא הסט הריק או האירוע הבלתי אפשרי.

במקרה של אירועים שאינם נפרדים, תוצאת הצומת תהיה האלמנטים המשותפים. בואו נראה דוגמה מדוע הצומת האירועים המופרדים אינו יכול להתקיים:

נניח שיש לנו מרחב לדוגמא המורכב מ- (1,2,3,4,5,6) שבו:

ת: תן 1 או 2 לעלות (1,2)

ב: זה יוצא גדול או שווה ל 5 (5,6)

A ∩ B = Ø

אין צומת. זה אירוע בלתי אפשרי. זה קורה מכיוון שהאירועים אינם נפרדים. כלומר, אין להם אלמנטים משותפים.

מצדה, הצומת של אירועים שאינם נפרדים מחושב כ:

מאפייני צומת האירועים

איחוד האירועים הוא סוג של פעולה מתמטית. סוגים מסוימים של פעולות הם גם חיבור, חיסור, כפל. לכל אחד מהם סדרת מאפיינים. לדוגמא, אנו יודעים שהתוצאה של הוספת 3 + 4 זהה לחלוטין לזו של הוספת 4 +3. בשלב זה, לאיגוד האירועים יש כמה נכסים שכדאי לדעת:

• חִלוּפִי: פירוש הדבר שסדר כתיבתו אינו משנה את התוצאה. לדוגמה:
  • A ∩ B = B ∩ A
  • C ∩ D = D ∩ C
• אסוציאטיבי: בהנחה שיש שלושה אירועים, לא אכפת לנו איזה מהם לעשות קודם ואיזה לעשות אחר כך. לדוגמה:
  • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • (A ∩ C) U B = (A ∩ B) ∩ C.
• מפיץ: כאשר אנו כוללים את סוג הפעולה בצומת, הנכס החלוקתי מתקיים. רק תסתכל על הדוגמה הבאה:
  • A ∩ (B U C) = (A U B) U (A U C)

כשמסתכלים על נכסים אלה נוכל לראות בקלות איך הם זהים לחלוטין למקרה של איחוד האירועים.

דוגמה לצומת אירועים

דוגמה פשוטה לאיחוד שני האירועים A ו- B תהיה הבאה. נניח המקרה של הטלת המוות המושלם. מת שיש לו שש פנים ממוספרים מ -1 עד 6. באופן שהאירועים מוגדרים להלן:

ל: שהוא גדול מ- 2. בהסתברות (3,4,5,6) הוא 4/6 => P (A) = 0.67

ג: תן לחמישה לצאת. (5) בהסתברות הוא 1/6 => P (C) = 0.17

מה ההסתברות ל- A ∩ C?

P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)

מכיוון שכבר יש את זה ל- P (A) ו- P (C), אנחנו הולכים לחשב את P (A U C)

A U C = (3,4,5,6) בהסתברויות P (A U C) = 4/6 = 0.67

התוצאה הסופית היא:

P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0.67 + 0.17 - 0.67 = 0.17 (17%)

ההסתברות שהוא ייצא גדול מ -2 ובמקביל שהוא ייצא חמש הוא 17%.