התפלגות בינומית היא התפלגות הסתברות דיסקרטית המתארת את מספר ההצלחות בעת ביצוע n ניסויים עצמאיים על משתנה אקראי..
יש מגוון גדול של ניסויים או אירועים שניתן לאפיין במסגרת חלוקת ההסתברות הזו. תארו לעצמכם הטלת מטבע בה אנו מגדירים את האירוע "מכה בראש" כהצלחה. אם נזרוק את המטבע 5 פעמים ונמנה את הלהיטים (הראשים) שנקבל, התפלגות ההסתברות שלנו תתאים להתפלגות בינומית.
לכן, ההתפלגות הבינומית מובנת כסדרת בדיקות או ניסויים שבהם נוכל להשיג שתי תוצאות בלבד (הצלחה או כישלון), כאשר ההצלחה היא המשתנה האקראי שלנו.
מאפייני חלוקת הבינום
כדי שמשתנה אקראי ייחשב בעקבות התפלגות בינומית, עליו לעמוד בתכונות הבאות:
- בכל ניסוי, ניסוי או בדיקה, שתי תוצאות בלבד (הצלחה או כישלון) אפשריות.
- ההסתברות להצלחה חייבת להיות קבועה. זה מיוצג על ידי האות p. ההסתברות שמטבע מטלטל ראשים היא 0.5 וזה קבוע מכיוון שהמטבע לא משתנה בכל ניסוי וההסתברויות לראשים קבועים.
- גם ההסתברות לכישלון חייבת להיות קבועה. זה מיוצג על ידי האות q = 1-p. חשוב לציין שבאמצעות משוואה זו, ידיעה p או ידיעה q, אנו יכולים להשיג את זה שחסר לנו.
- התוצאה המתקבלת בכל ניסוי אינה תלויה בקודמתה. לכן, מה שקורה בכל ניסוי אינו משפיע על הניסויים הבאים.
- האירועים אינם נכללים זה בזה, כלומר, שניהם אינם יכולים להתרחש בו זמנית. לא ניתן להיות גבר ואישה בו זמנית או שכשזורקים מטבע זה ייצא ראשים וזנבות בו זמנית.
- האירועים הם באופן ממצה באופן קולקטיבי, כלומר, לפחות אחד מה -2 חייב להתרחש. אם אתה לא גבר, אתה אישה, ואם אתה זורק מטבע, אם זה לא עולה בראש, זה חייב להיות זנבות.
- המשתנה האקראי העוקב אחרי התפלגות בינומית מיוצג בדרך כלל כ- X ~ (n, p), כאשר n מייצג את מספר הניסויים או הניסויים ו- p את ההסתברות להצלחה.
פורמולה של חלוקת הבינום
הנוסחה לחישוב ההתפלגות הנורמלית היא:
איפה:
n = מספר הניסויים / ניסויים
x = מספר הצלחות
p = הסתברות להצלחה
q = הסיכוי לכישלון (1-p)
חשוב לציין כי הביטוי בסוגריים מרובעים אינו ביטוי מטריציוני, אלא הוא תוצאה של קומבינטוריות ללא חזרה. זה מתקבל בנוסחה הבאה:
סימן הקריאה בביטוי הקודם מייצג את סמל העובדה.
דוגמה להפצה בינומית
בואו נדמיין ש -80% מהאנשים בעולם ראו את המשחק האחרון בגביע העולם בכדורגל האחרון. לאחר האירוע 4 חברים נפגשים לשיחה מה הסבירות ש -3 מהם ראו את המשחק?
בואו נגדיר את המשתנים של הניסוי:
n = 4 (הוא המדגם הכולל שיש לנו)
x = מספר הצלחות, שבמקרה זה שווה ל- 3, מכיוון שאנחנו מחפשים את ההסתברות ש -3 מתוך 4 החברים ראו את זה.
p = הסתברות להצלחה (0.8)
q = הסתברות לכישלון (0.2). תוצאה זו מתקבלת על ידי הפחתת 1-p.
לאחר הגדרת כל המשתנים שלנו, אנו פשוט מחליפים בנוסחה.
המונה של המפעל היה מתקבל על ידי הכפלת 4 * 3 * 2 * 1 = 24 ובמכנה יהיו לנו 3 * 2 * 1 * 1 = 6. לכן, התוצאה של המפעל תהיה 24/6 = 4 .
מחוץ לסוגר יש לנו שני מספרים. הראשון יהיה 0.8 3 = 0.512 והשני 0.2 (שכן 4-3 = 1 וכל מספר שמוגדל ל -1 זהה).
לכן, התוצאה הסופית שלנו תהיה: 4 * 0.512 * 0.2 = 0.4096. אם נכפיל ב 100 יש לנו הסתברות של 40.96% ש -3 מתוך 4 החברים ראו את משחק הגמר במונדיאל.