משפט גאוס-מרקוב הוא מערך הנחות שעליו אומדן OLS (ריבועי פחות ריבועיים) למלא כדי להיחשב כ- ELIO (אומדן אופטימלי לינארי לא מוטה). ANDמשפט גאוס-מרקוב גובש על ידי קרל פרידריך גאוס ואנדריי מרקוב.
קרל פרידריך גאוס ואנדריי מרקוב ביססו כמה הנחות יסוד כך שאומד OLS יכול להפוך ל- ELIO.
אם חמש ההנחות הללו מתקיימות, נוכל לאשר שהאומדן הוא השונות המינימלית (המדויקת ביותר) מכל האומדנים הליניאריים והלא משוחדים. במקרה שכל אחת מההנחות של שלוש הראשונות נכשלת (לינאריות, אקסוגניות אפסית מחמירה או אין מולטי-קולינריות מושלמת), אומדן ה- OLS אינו משוחד יותר. אם רק 4 או 5 נכשלים (Homoscedasticity ו- No autocorrelation) האומדן עדיין לינארי ולא משוחד, אך הוא כבר לא המדויק ביותר. משפט סיכום גאוס-מרקוב קובע כי:
- על פי ההנחות 1, 2 ו- 3, אומדן ה- OLS הוא ליניארי וללא משוא פנים. כעת, לא כל עוד שלוש ההנחות הראשונות מתקיימות, ניתן להבטיח שהאומדן אינו משוחד. על מנת שהאומד יהיה עקבי, עלינו לקבל מדגם גדול, כך יותר טוב.
- על פי ההנחות 1, 2, 3, 4 ו- 5, אומדן ה- OLS הוא ליניארי, לא משוחד ואופטימלי (ELIO).
הנחות משפט משפט גאוס-מרקוב
באופן ספציפי, ישנן 5 הנחות יסוד:
1. מודל לינארי בפרמטרים
זו הנחה גמישה למדי. זה מאפשר להשתמש בפונקציות של משתני העניין.
2. אפסוגניות אפסית ומחמירה
זה מרמז כי הערך הממוצע של השגיאה המותנה בהסברים שווה לערך הצפוי ללא תנאי ושווה לאפס. יתר על כן, אקסוגניות קפדנית מחייבת שגיאות מודל אינן מתואמות עם תצפיות כלשהן.
ממוצע אפס:
אקסוגניות קפדנית:
אפסוגניות אפסית וקפדנית נכשלת אם:
- המודל מוגדר בצורה גרועה (השמטה של משתנים רלוונטיים, למשל).
- יש שגיאות מדידה במשתנים (הנתונים לא נבדקו).
- בסדרות זמן, אקסוגניות קפדנית נכשלת במודלים של אנדוגניות מתעכבת (אם כי עשויה להתקיים אקסוגניות זמנית) ובמקרים שיש השפעות משוב.
בנתוני חתך הרבה יותר קל להשיג את ההנחה של אקסוגניות מאשר במקרה של סדרות זמן.
3. אין מולטי קולינאריות מדויקת
במדגם, אף אחד ממשתני ההסבר אינו קבוע. אין קשר לינארי מדויק בין משתני הסבר. זה לא שולל מתאם כלשהו (לא מושלם) בין המשתנים. לדברי גאוס ומרקוב, כאשר למודל יש רב-קולינאריות מדויקת, זה בדרך כלל נובע משגיאה של אנליסט.
4. הומסטיות
השונות של השגיאה, ולכן של Y, אינה תלויה בערכי ההסבר ובנוסף, השונות של השגיאה הקבועה. מתמטית זה מתבטא כ:
לפניכם סדרת נתונים עם מראה הומוסקדסטי.
5. אין התאמה אוטומטית
מונחי השגיאה של שתי תצפיות שונות המותנות ב- X אינם קשורים זה לזה. אם המדגם הוא אקראי, לא תהיה התאמה אוטומטית.
איפה שאני חייב להיות בעל ערך שונה מ- h. אם המדגם הוא אקראי, הנתונים ושגיאות התצפית "i" ו- "h" יהיו עצמאיים עבור כל זוג תצפיות "i" ו- "h".
