פירוק כלסקי - מה זה, הגדרה ומושג
הפירוק של Cholesky הוא סוג מיוחד של פירוק מטריצות LU, מהאנגלית התחתונה-עליונה, המורכבת מחישוב מטריצה לתוצר של שתי מטריצות או יותר.
במילים אחרות, הפירוק של Cholesky מורכב משוואת מטריצה המכילה את אותו מספר שורות ועמודות (מטריצה מרובעת) למטריצה עם אפסים מעל האלכסון הראשי כפול המטריצה שלה המועברת באפסים מתחת לאלכסון הראשי.
את הפירוק LU, בניגוד ל- Cholesky, ניתן להחיל על סוגים שונים של מטריצות מרובעות.
מאפייני פירוק חוליסקי
הפירוק כולסקי מורכב מ:
- מטריצה מרובעת משולשת עליונה: מטריצה מרובעת שיש לה רק אפסים מתחת לאלכסון הראשי.
- מטריצה מרובעת משולשת תחתונה: מטריצה שיש לה רק אפסים מעל האלכסון הראשי.
מתמטית, אם קיימת מטריצה סימטרית מוגדרת חיובית, ANDאז קיימת מטריצה סימטרית משולשת תחתונה, K, באותו ממד כמו AND, וכתוצאה מכך:
המטריצה שלעיל מופיעה כמטריקס Cholesky של E. מטריצה זו משמשת כשורש הריבועי של המטריצה E. אנו יודעים שתחום השורש הריבועי הוא:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
שמוגדר בכל המספרים הריאליים שאינם שליליים. באותו אופן כמו השורש הריבועי, מטריקס ה- Cholesky יהיה קיים רק אם המטריצה היא חצי-חיובית מוגדרת. מטריצה מוגדרת באופן חיובי למחצה כאשר לקטינים הגדולים יש גורם חיובי או אפס.
הפירוק הכלסקי של AND היא מטריצה אלכסונית כזו:
אנו יכולים לראות שהמטריצות הן מרובעות ומכילות את המאפיינים שהוזכרו; משולש אפסים מעל האלכסון הראשי במטריצה הראשונה ומשולש האפסים מתחת לאלכסון הראשי במטריצה שהופכה.
יישומי פירוק כלסקי
במימון הוא משמש להפיכת מימושים של משתנים נורמליים עצמאיים למשתנים נורמליים המתואמים על פי מטריצת מתאם AND.
אם N הוא וקטור של נורמליות עצמאיות (0,1), מכאן ש- Ñ הוא וקטור של נורמליות (0,1) המתואם על פי AND.
דוגמה לפירוק כולסקי
זו הדוגמה הפשוטה ביותר שאנו יכולים למצוא לפירוק Cholesky מכיוון שהמטריצות צריכות להיות מרובעות, במקרה זה המטריצה היא (2 × 2). שתי שורות על ידי שתי עמודות. בנוסף, הוא עונה על המאפיינים שיש אפסים מעל ומתחת לאלכסון הראשי. מטריצה זו היא חיובית למחצה מכיוון שלקטינים הגדולים יש גורם חיובי. אנו מגדירים:
פתרון ל: ג2 = 4; b · c = -2; ל2+ ב2 = 5; יש לנו ארבע מטריצות Cholesky אפשריות:
לבסוף אנו מחשבים למצוא (a, b, c). ברגע שנמצא אותם, יהיו לנו המטריצות של Cholesky. החישוב הוא כדלקמן:
