אומדן עקבי - מה זה, הגדרה ומושג

אומדן עקבי הוא כזה ששגיאת המדידה או ההטיה שלו מתקרבות לאפס כאשר גודל המדגם מתקרב לאינסוף.

מההגדרה של אומדן חסר משוא פנים, אנו יכולים להסיק כי לעיתים יש לנו שגיאות הערכה. כעת, ישנם מקרים בהם כאשר המדגם גדל יותר השגיאה פוחתת.

לפעמים, בשל מאפייני האומדן המשמש, ככל שגודל המדגם גדל, השגיאה גם עולה. אומדן זה לא יהיה רצוי להשתמש בו. כעת, קודם כל, איננו יודעים לאן נוטה ההטיה. אם הוא נוטה לאפס, הוא נוטה לערך מסוים, או שהוא נוטה לאינסוף ככל שגודל המדגם הולך וגדל.

עם זאת, יש צורך להגדיר את מושג העקביות. מבחינתם, עלינו לומר שיש שני סוגים של עקביות. ראשית, יש את העקביות הפשוטה. בעוד שמנגד, העקביות נמצאת בריבוע ממוצע.

אם לומר זאת בצורה כלשהי, הם שני כלים מתמטיים המאפשרים לנו לחשב לאיזה מספר או מספרים האומדן שלנו מתכנס.

הערכה

עקביות פשוטה

אומדן ממלא את המאפיין של עקביות פשוטה אם מתקיימת המשוואה הבאה:

משמאל לימין, המשוואה נקראת כדלקמן: המגבלה, כאשר גודל המדגם נוטה לאינסוף, של ההסתברות שההפרש המוחלט בין ערך האומדן לערך הפרמטר גדול מהשגיאה, שווה לאפס. .

מובן כי ערך השגיאה שציין epsilon, חייב להיות גדול מאפס.

באופן אינטואיטיבי, הנוסחה מציינת שכאשר גודל המדגם נהיה גדול מאוד, ההסתברות לשגיאה גדולה מאפס היא אפס. להיפך, ההסתברות שאין שגיאה כאשר גודל המדגם גדול מאוד הוא, אם כבר מדברים על סבירות, כמעט 100%.

אומדן המורכב מממוצע ריבועי

כלי נוסף שניתן להשתמש בו לבדיקת אומדן עקבי הוא שגיאת הריבוע הממוצעת של השורש. הכלי המתמטי הזה חזק אפילו יותר מהקודם. הסיבה היא שהדרישה לתנאי זה גדולה יותר.

בסעיף הקודם, הדרישה הייתה שבאופן הסתברותי האפשרות לטעות תהיה אפס או קרוב מאוד לאפס.

כעת, מה שאנו דורשים מוגדר על ידי השוויון המתמטי הבא:

כלומר, כאשר גודל המדגם גדול, הציפייה המתמטית לשגיאות בריבוע היא אפס. האפשרות היחידה שערך זה יהיה אפס היא שהשגיאה תמיד תהיה אפס. למה? מכיוון ששגיאת האמידה מוגדלת לשניים (Estimator - ערך אמיתי של הפרמטר), התוצאה תמיד תהיה חיובית. אלא אם כן, השגיאה היא אפס. אפס שהועלה לשניים הוא אפס.

כמובן שאם המגבלה מחזירה 0.0001, אנו יכולים להניח שהיא שווה לאפס. כמעט בלתי אפשרי שמפת השגיאות הריבועית הממוצעת של השורש תגיע לאפס.

מבחינה סטטיסטית, אנו נגיד כי אומדן הוא עקבי בממוצע הריבועי, במקרה והצפי לשגיאת הריבוע של האומד בהתחשב בדגימות שונות הוא אפס או קרוב מאוד אליו.