משפט הדרמואה הוא משפט המאפשר למצוא סטטיסטיקה T לפרמטר θ עם המאפיין של מספיק.
במילים פשוטות עוד יותר, הוא מאפשר למצוא את הביטוי המתמטי, אם בכלל, לנתון מספיק.
ביחס לקריטריון הפקטורינג של פישר-ניימן, אנו יכולים להתחשב. קריטריון הפקטורינג של פישר-ניימן משמש הן לבדיקה האם נתון ממלא את המאפיין של מספיק, והן למצוא ביטוי מתמטי לנתון מספיק (אם הוא קיים). לעומת זאת, משפט דרמואה מאפשר רק למצוא את הביטוי המתמטי (אם קיים) לנתון מספיק.
בואו נגיד שבעוד שקריטריון הפקטורינג של פישר-ניימן נע קדימה (חיפוש) ואחורה (סימון), משפט דרמואה רק מתקדם (חיפוש).
נוסחת משפט דרמואה
תיאורטית, הוא בא לידי ביטוי, בהינתן מדגם אקראי פשוט של משתנה אקראי X עם פונקציית צפיפות f (x; θ) עם θ ∈ Ω. אם פונקציה זו שייכת למשפחה האקספוננציאלית, כלומר, היא יכולה לבוא לידי ביטוי כך:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
ואז הסטטיסטיקה T = T (x1, …, xn) = Σ a (x)
כדי להקל על החישובים, בדרך כלל מתבצע סימון לוגריתמי:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
כמובן שקשה להבין את כל הסימון המתמטי הזה. אלמונים רבים מופיעים, הרבה אותיות, הרבה מפעילים. בואו נגדיר אותו מחדש במילים שפות. לשם כך נתחיל בהגדרה התיאורטית המיושמת לדוגמא:
נניח מדגם אקראי של 50 ילדים (מדגם אקראי פשוט) אליו אנו שואלים כמה כסף הם מוציאים בשבוע על ממתקים (משתנה אקראי X) עם פונקציית צפיפות נתונה (ראה פונקציית צפיפות). לכן, אם פונקציית צפיפות זו נוכל לבטא אותה באופן הבא:
נקבע כי הנתון המספיק הוא סכום הביטוי a (x)
חלקי הנוסחה מוגדרים כדלקמן:
- lnβ (θ): זו פונקציה שתלויה רק בפרמטר (במקרה שלנו הממוצע)
- lnb (x): זו פונקציה שתלויה רק במשתנה האקראי X
- a (x): זו פונקציה שתלויה רק ב- X ומכפילה את α (θ)
- α (θ): זו פונקציה שתלויה רק בפרמטר (במקרה שלנו הממוצע)
משפט דרמואה בפועל
למרות שלכולנו יש את היכולת והכלים לגלות נתונים סטטיסטיים חדשים, זה לעתים רחוקות הנורמה. במילים אחרות, פרופסורים לכלכלה ומומחים בתחום עוסקים במחקר בנושאים אלה.
על בסיס אישי, קשה למצוא מישהו שמוקדש לביצוע מחקר מסוג זה. לפיכך, בפועל הדבר החשוב במשפט זה הוא להבין מאיפה נובעת הסטטיסטיקה הזו בה אנו משתמשים.
לדוגמא, כדי שמישהו יגלה שהממוצע הוא נתון מספיק, הוא כנראה השתמש בתהליך זה.