מרכז הכובד של המשולש הוא הנקודה בה חציון הדמות מצטלבים. זה ידוע גם בשם centroid.
צריך לזכור שהחציון הוא הקטע שמצטרף לקודקוד המשולש עם אמצע הצד הנגדי שלו. כך לכל משולש יש שלושה חציונים.
לדוגמא, במשולש שלמעלה, מרכז הכובד הוא נקודה O, כאשר החציונים הם הקטעים AF, BD ו- CE.
מאפיין חשוב של מרכז הכובד הוא שהמרחק שלו מכל קודקוד הוא כפול מהצד הנגדי.
כדי להסביר זאת טוב יותר, ניתן להבחין בשני חלקים בכל חציון:
- המרחק מהקודקוד למרכז הכובד, שהוא 2/3 מאורך החציון
- 1/3 הנותר, שהוא המרחק ממרכז הכובד לנקודת האמצע של הצד הנגדי.
בתמונה לעיל, למשל, נכון:
כיצד למצוא את מרכז הכובד של משולש
כדי למצוא את מרכז הכובד של המשולש עלינו לקחת בחשבון כי, בידיעת הקואורדינטות של שלושת הקודקודים של המשולש, הקואורדינטות של מרכז הכובד תואמות את הממוצע החשבוני שלו. אז, נניח שהקודקודים הם:
ואז, הקואורדינטות של מרכז הכובד, אותן אנו מכנים O, יהיו:
כעת, ניתן גם למצוא את מרכז הכובד אם יש לנו את משוואות הקווים המכילות לפחות שניים מהמדיאנים.
נזכיר כי בגיאומטריה אנליטית, קו יכול לבוא לידי ביטוי כמשוואה אלגברית מסדר ראשון כ:
y = xm + b
במשוואה המוצגת, y הוא הקואורדינטה על ציר הסמיכות (אנכי), x הוא הקואורדינטה על ציר הבסיס (אופקי), m הוא השיפוע (הנטייה) שיוצר את הקו ביחס לציר הבסיס, ו- b הנקודה בה הקו מצטלב בציר הסמיכה.
כדי להבין טוב יותר את האמור לעיל, בואו נסתכל על דוגמא.
דוגמה למרכז הכובד
נניח שיש לנו משולש שאנו מכירים שניים מקודקודיו:
A (0,4) ו- B (-2,1)
כעת, ידוע עוד כי נקודת האמצע של הצד הנגדי לקודקוד A היא (3,1), ונקודת האמצע של הצד הנגדי לקודקוד B היא (4, 2,5). כדאי להבהיר כי אנו משתמשים בנקודה-פסיק כדי לא להתבלבל עם הפסיק המפריד בין העשרונים.
ראשית נמצא את משוואת הקו המכילה את החציון שמתחיל מקודקוד A, תוך התחשבות כי השיפוע במעבר מנקודה אחת לאחרת חייב להיות תמיד זהה. השיפוע הוא הווריאציה בציר האנכי בין הווריאציה בציר האופקי:
מה שעשינו הוא להניח שהקו עובר דרך נקודה (x1, y1) שהיא קודקוד A (0, 4), ודרך הנקודה (x2, y2) שהיא נקודת האמצע של הצד הנגדי שלה (3, 1).
לאחר מכן, אנו עושים את אותו הדבר עם קודקוד B (-2,1) ונקודת האמצע של הצד הנגדי שלו (-4, -2,5):
בשלב הבא אנו משווים את הצד הימני של שתי המשוואות שנמצאו לפתור את הערך על ציר ה- X כאשר שניהם חופפים:
ואז נפתור בכל אחת מהמשוואות כדי למצוא את הערך של y:
לכן מרכז הכובד של המשולש הוא הנקודה (2,2) במישור הקרטזיאני.