משפט תאלס - מה זה, הגדרה ומושג

משפט תאלס הוא חוק גיאומטריה שאומר לנו שאם קו נמשך במקביל לשני צידי המשולש, יהיה לנו משולש הדומה למשולש המקורי.

במילים אחרות, אם אנו חותכים משולש על ידי ציור קו מקביל לאחד מדפנותיו, נקבל משולש הדומה לזה שהיה קיים בעבר.

בנקודה זו, יש לציין ששני משולשים דומים כאשר הזוויות המקבילות שלהם חופפות (הן מודדות אותו הדבר) והצדדים ההומולוגיים שלהם פרופורציונליים זה לזה.

כדי להבין את זה טוב יותר, בואו נסתכל על האיור הבא:

על פי משפט תאלס ניתן להסיק כי α = δ ו- β = ε

בנוסף, כפי שהזכרנו קודם, הצדדים פרופורציונליים, כך שנכון:

אנקדוטה שסיפרה ההיסטוריון פלוטארך מספרת כי תאלס ממילטוס, באחד מטיוליו, עשה שימוש במשפט זה בכדי לדעת את גובה הפירמידות של גיזה (אלה של צ'אופס, חאפרה ומנקור) במצרים. לפיכך, הוא החליט להניח מקל אנכית על הקרקע, והמתין שאורך החפץ יהיה שווה לצל שהטיל. באותה תקופה, צל הפירמידה יהיה שווה גם לגובהה. במקרה זה, המשולשים הדומים הם:

• זה ששני צדיו הם המוט וצל שלו.
• המשולש שאחד מצלעיו גובה הפירמידה וכצד אחר - צלו.

כדי להבין זאת טוב יותר, בואו נדמיין באיור שלמעלה שהפירמידה היא זו שנוצרה על ידי הקודקודים D, E ו- F, גובהה הוא הקטע HE והצל שלה, IE. בינתיים המוט הוא קטע AB והצל שלו, CB. לכן, AB / CB = HE / IE. זאת, בהתחשב בכך שקרני השמש מקבילות (הן אינן חוצות או מאריכותיהן), לכן הן יהוו זווית זהה למוט כמו לפירמידה (הזוויות α ו- β שוות).

דוגמה למשפט תאלס

כדי להבין טוב יותר את משפט תאלס, בואו נסתכל על האיור הבא:

אם BC מודד 7.3 מטר, DE מודד 3.6 מטר ו- AB מודד 6.2 מטר. מה אורך הספירה?

אנו מבודדים בנוסחה שהוצגה בעבר ויש לנו:

7.3 / 3.6 = 6.2 / לספירה

2.0278 = 6.2 / לספירה

AD = 3.0575 מטר

הרחבת משפט תאלס

את משפט תאלס ניתן להרחיב לניתוח של כל שני קווים שנחתכים על ידי קווים אחרים המקבילים זה לזה, כפי שאנו רואים בתמונה הבאה:

אז נכון:

זה נכון מכיוון שעלינו לחשוב על קווים אלה כחלק ממשולש, או לראות זאת בדרך אחרת, אם נרחיב את הקווים AB ו- CD הם יחצו. מוטב שנראה זאת בתמונה הבאה:

המשפט השני של תאלס

יש גם משפט תאלס שני לפיו, אם יש לנו משולש שנוצר בקוטר של היקף ושני קווים מצטלבים בו (הם חותכים את הדמות בשתי נקודות), הזווית שמול הקוטר נכונה, כלומר ,, מודד 90º.

צריך לזכור שקוטר הוא אותו קטע, שעובר במרכז ההיקף ומצטרף לשתי נקודות מנוגדות לדמות האמורה.

אנו יכולים לראות את האמור לעיל טוב יותר בתמונה הבאה:

אנו יכולים לבדוק משפט זה בהתחשב בכך ש- AC, AD ו- AB מודדים זהים ושווים לרדיוס ההיקף (הרדיוס הוא כל קטע המצטרף לנקודה על ההיקף עם מרכז הדמות ושווה לחצי קוֹטֶר). אז, המשולשים ABC ו- ABD הם שווה שוקיים ושני הצדדים שלהם דומים הם זוויות מנוגדות שגם מודדות אותו דבר, כלומר:

AC = AD = AB = r (רדיוס ההיקף)

γ = β ו- α = δ

ואז, אם אנו רואים את משולש ה- CBD ונזכור שהזוויות הפנימיות של המשולש חייבות להסתכם ב -180 מעלות, יש לנו:

γ + β + α + δ = 180º

2β + 2α = 180º

2 (α + β) = 180º

α + β = 90º

לכן, משולש ה- CBD הוא משולש נכון.