הערך הצפוי של משתנה אקראי הוא המושג האנלוגי לאלגברה מתמטית הבוחן את הממוצע החשבוני של מכלול התצפיות של המשתנה האמור.
במילים אחרות, הערך הצפוי של משתנה אקראי הוא הערך המופיע בתדירות הגבוהה ביותר במהלך חזרה על ניסוי פעמים רבות.
מאפייני ערכים צפויים של משתנה אקראי
לערך הצפוי של משתנה אקראי יש שלוש תכונות שאנו מפתחים להלן:
נכס 1
עבור כל קבוע g, הערך הצפוי של קבוע זה יבוטא כ- E (g) ויהיה אותו קבוע g. מתמטית:
E (g) = g
מכיוון ש- g הוא קבוע, כלומר, הוא אינו תלוי במשתנה כלשהו, ערכו יישאר זהה.
דוגמא
מה הערך הצפוי של 1? במילים אחרות, איזה ערך אנו מייחסים למספר 1?
E (1) =?
בדיוק, אנו מקצים את הערך 1 למספר 1 והערך שלו לא ישתנה ולא משנה כמה השנים עוברות או שאסונות טבע יתרחשו. לכן, אנו עוסקים במשתנה קבוע ולכן:
E (1) = 1 או E (g) = g
הם יכולים לנסות מספרים אחרים.
נכס 2
עבור כל קבוע h ו- k, הערך הצפוי של השורה h · X + k יהיה שווה לקבוע h כפול הציפייה למשתנה האקראי X בתוספת קבוע k. מתמטית:
E (h X + k) = h E (X) + k
תסתכל מקרוב, זה לא מזכיר לך סטרייט מפורסם מאוד? בדיוק, קו הרגרסיה.
אם נחליף:
E (hX + k) = Y
E (X) = X
k = B0
h = B1
יש:
Y = B0 + ב1איקס
כאשר אומדים את המקדמים B0 , ב1 כלומר ב0 , ב1 , אלה נשארים זהים לכל הדגימה. אז אנו מיישמים נכס 1:
E (ב0) = B0
E (ב1) = B1
כאן אנו מוצאים גם את התכונה של משוא פנים, כלומר הערך הצפוי של האומדן שווה לערך האוכלוסייה שלו.
אם נחזור ל- E (h · X + k) = h · E (X) + k, חשוב לזכור כי Y הוא E (h · X + k) כאשר מסיקים מסקנות מקווי הרגרסיה. במילים אחרות, זה יהיה לומר שכאשר X גדל באחד, Y גדל ב חֲצִי יחידות h, שכן Y הוא הערך הצפוי של הקו h · X + k.
נכס 3
אם H הוא וקטור של קבועים ו- X הוא וקטור של משתנים אקראיים, אז ניתן לבטא את הערך הצפוי כסכום הערכים הצפויים.
H = (ח1 , ח2, , …, חנ)
X = (X1 , איקס2, ,…, איקסנ)
היי1איקס1 + h2איקס2 + … + חנאיקסנ) = h1·לְשֶׁעָבַר1) + h2·לְשֶׁעָבַר2) + … + Hנ·לְשֶׁעָבַרנ)
מבוטא בסכומים:
מאפיין זה שימושי מאוד לנגזרות בתחום הסטטיסטיקה המתמטית.