התקדמות גיאומטרית - מה זה, הגדרה ומושג
התקדמות גיאומטרית היא רצף אינסופי של מספרים שהיחס בו קבוע לאורך כל הרצף וניתן לייצגו על ידי פונקציה מעריכית.
במילים אחרות, התקדמות גיאומטרית היא רצף מספרי, ולפיכך, אינסופי, בו השונות בין שני מספרים עוקבים תהיה תמיד זהה לאורך כל הסדרה ואשר מיוצגת פעם אחת חופפת לפונקציה אקספוננציאלית.
נוסחת התקדמות גיאומטרית
התקדמות גיאומטרית של הצורה X1, איקס2, …, איקסנ ,
איקס1 = X1
איקס2 = X1 · סיבה
איקס3 = X2 · סיבה
…
איקסn-1 = Xn-2 · סיבה
איקסנ = Xn-1 · סיבה
לכן, כדי לחשב את היחס בין התקדמות גיאומטרית, נצטרך להחיל את הנוסחה הבאה:
הסיבה תמיד תהיה זהה לאורך כל ההתקדמות. במילים אחרות, אם נחשב את היחס בין זוג מספרים אחד ואת היחס של זוג מספרים אחר, וזה גורם ליחס אחר, אז זה אומר שבשלב מסוים טעינו.
צמד המספרים שנבחר חייב להיות תמיד רצוף מכיוון שהמספר הבא תלוי במספר הקודם כפול היחס.
דוגמא
ניתן התקדמות גיאומטרית של הצורה X1, איקס2, …, איקס40 :
כתב ה- X מציין את מיקום המספר ברצף. אז יש 40 אלמנטים בהתקדמות זו.
נראה כי ההתקדמות הגיאומטרית קשה יותר מההתקדמות החשבונית, אך למעשה מדובר באותו מושג. לכן, מכיוון שאיננו רואים את הסיבה במבט ראשון, נשתמש בחישובים:
איקס2 / איקס1 = 1.5 / 1 = יחס ← ←
איקס3 / איקס2 = 2.25 / 1.5 = 1.5 ← יחס
איקס4 / איקס3 = 3.38 / 2.25 = 1.5 ← יחס
…
איקס39 / איקס38 = 4,914,369.92 / 3,276,246.61 = יחס ← ←
איקס40 / איקס39 = 7,371,554.88 / 4,914,369.92 = יחס ← ←.
למרות שהמספרים גדלים, הסיבה תמיד תהיה זהה. חשוב להדגיש כי רק להכפיל פי 1.5 ארבעים פעמים, אנו מקבלים 7,371,554.88.
יִצוּג
אם נאסוף את כל המספרים מההתקדמות הקודמת בגרף ונצטרף לכל הנקודות, נראה שהפונקציה נראית הרבה כמו הפונקציה האקספוננציאלית.
אז ההתקדמות הזו גוברת מונוטונית מכיוון שהיחס גדול מ- 0.
בהשוואת ההתקדמות האריתמטית עם ההתקדמות הגיאומטרית, אנו מגיעים למסקנה שכדי להשיג מספרים גבוהים יותר בכמה אלמנטים בתוך ההתקדמות, עדיף להכפיל יחסים (התקדמות גיאומטרית) מאשר להוסיף יחסים (התקדמות חשבון).
