מודל מתמטי הוא מודל המשתמש בנוסחאות מתמטיות כדי לייצג את הקשר בין משתנים, פרמטרים ואילוצים שונים.
מודל מתמטי הוא ייצוג פשוט, באמצעות משוואות מתמטיות, פונקציות או נוסחאות, של תופעה או של הקשר בין שני משתנים או יותר. ענף המתמטיקה האחראי על לימוד האיכויות והמבנה של המודלים הוא מה שמכונה "תורת המודלים".
לשם מה מודל מתמטי?
מודלים מתמטיים משמשים לניתוח הקשר בין שניים או יותר משתנים. בעזרתם ניתן להבין תופעות טבעיות, חברתיות, פיזיות וכו '. בהתאם למטרה המבוקשת ולעיצוב של אותו מודל, ניתן להשתמש בהם לחיזוי ערך המשתנים בעתיד, השערות, הערכת ההשפעות של מדיניות או פעילות מסוימת, בין מטרות אחרות.
למרות שזה נראה מושג תיאורטי, במציאות ישנם היבטים רבים של חיי היומיום הנשלטים על ידי מודלים מתמטיים. מה שקורה הוא שהם לא מודלים מתמטיים הממוקדים בתיאוריה. במקום זאת, הם מודלים מתמטיים שנוסחו כדי לגרום למשהו לעבוד. למשל, מכונית.
יסודות בסיסיים של מודל מתמטי
מודלים מתמטיים יכולים להשתנות במורכבותם, אך לכולם יש מאפיינים בסיסיים:
- משתנים: הם המושגים או האובייקטים שמבקשים להבין או לנתח. במיוחד ביחס ליחס שלה עם משתנים אחרים. כך, למשל, משתנה יכול להיות משכורת העובדים ומה שאנו רוצים לנתח הם הקובעים העיקריים שלהם (לדוגמא: שנות לימוד, השכלת ההורים, מקום לידתם וכו ').
- פרמטרים: אלה הם ערכים ידועים או נשלטים של המודל.
- מגבלות: מדובר בגבולות מסוימים המצביעים על כך שתוצאות הניתוח סבירות. לדוגמא, אם אחד המשתנים הוא מספר ילדי המשפחה, מגבלה טבעית היא שערך זה אינו יכול להיות שלילי.
- קשרים בין משתנים: המודל קובע קשר מסוים בין המשתנים על בסיס תיאוריות כלכליות, פיזיקליות, כימיות וכו '.
- ייצוגים פשוטים: אחד המאפיינים המהותיים של מודל מתמטי הוא ייצוג היחסים בין המשתנים הנלמדים באמצעות אלמנטים של מתמטיקה כגון: פונקציות, משוואות, נוסחאות וכו '.
מאפיינים רצויים של מודל מתמטי
כאשר מתוכנן מודל מתמטי, הכוונה היא שיהיו לו קבוצה של מאפיינים המסייעים להבטיח את חוסנו ויעילותו. בין המאפיינים הללו:
- פַּשְׁטוּת: אחת המטרות העיקריות של מודל מתמטי היא לפשט את המציאות כדי להבין אותה טוב יותר.
- אוֹבּיֶקטִיבִיוּת: שאין בו משוא פנים לא תיאורטי ולא לדעות קדומות או רעיונות של מעצביו.
- רְגִישׁוּת: שהוא מסוגל לשקף את ההשפעות של וריאציות קטנות.
- יַצִיבוּת: שהמודל המתמטי לא שונה באופן משמעותי כשיש שינויים קטנים במשתנים.
- אוניברסליות: שזה ישים למספר הקשרים ולא רק למקרה מסוים.
ברור שיש הרבה יותר, אבל האמור לעיל הם האינטואיטיביים ביותר.
תהליכים להכנת מודל מתמטי
באופן כללי, תהליך פיתוח מודל מתמטי הוא כדלקמן:
- מצא תופעה או בעיה.
- גיבשו מודל עם אלמנטים במתמטיקה המייצגים את הבעיה הנבחרת המזהים את המשתנים הרלוונטיים (תלויים ועצמאיים).
- קבעו השערות ושיטת בדיקה לאמיתותה.
- יישם ידע מתמטי כדי לפתור את המודל ולחזות במידת הצורך.
- ערוך השוואות של הנתונים שהתקבלו עם נתונים אמיתיים.
- אם התוצאות אינן עומדות בציפיות, התאם את המודל המתמטי.
סוגי מודלים מתמטיים
ישנם סוגים שונים של מודלים מתמטיים. להלן כמה מהסוגים הרלוונטיים ביותר של דגמים:
על פי המידע ששימש
- הֵאוֹרִיסטִי: מבוסס על הסברים אפשריים אודות הסיבות לתופעות הנצפות.
- אֶמפִּירִי: משתמש במידע מהניסוי בפועל.
לפי סוג הייצוג
- איכותי או רעיוני: הם מתייחסים לניתוח האיכות או המגמה של תופעה מבלי לחשב ערך מדויק.
- כמותית או מספרית: לתוצאות המתקבלות יש ערך ספציפי שיש לו משמעות מסוימת (זה יכול להיות מדויק או יחסי).
על פי האקראיות
- דטרמיניסטי: אין לו אי וודאות, הערכים ידועים.
- הסתברותי: ערך המשתנים אינו ידוע בדיוק בכל עת. יש אי וודאות ולכן חלוקת הסתברות של התוצאות.
על פי היישום שלך או המטרה שלך
- סימולציה או תיאורית: מדמה או מתאר תופעה. התוצאות מתמקדות בחיזוי מה יקרה במצב מסוים.
- אופטימיזציה: הם משמשים למציאת פיתרון אופטימלי לבעיה.
- של שליטה: כדי לשמור על שליטה בארגון או מערכת ולקבוע את המשתנים שיש להתאים כדי להשיג את התוצאות הרצויות.