רצף מתמטי - מה זה, הגדרה ומושג

רצף מתמטי, במונחים פורמליים, הוא פונקציה המופעלת על קבוצת המספרים הטבעיים, כך שמתקבלת קבוצה של מספרים ממשיים.

במילים אחרות, רצף מתמטי הוא רצף מסודר של מספרים, וכל אחד מאלמנטים אלה נקרא מונח.

בניגוד לסטים, ברצף סדר היסודות כן חשוב.

בשלב זה עלינו לזכור כי המספרים הטבעיים הם אלה הכוללים את המספרים השלמים והחיוביים.

כמו כן, המספרים האמיתיים מקבצים את כל אותם מספרים טבעיים, שלמים, רציונליים ולא רציונליים. כלומר, הם עוברים מפחות אינסוף ליותר אינסוף.

כפי שהזכרנו קודם, הרצף הוא פונקציה במכלול המספרים הטבעיים, בהיותה פונקציה נפרדת, תוך לקיחת ערכים ספציפיים על פי מספר ההזמנה שלהם, מבלי לקחת ערך במרווח. כלומר יש מונח 1, מונח 2, מונח 3 וכן הלאה, אך אין מונח 1,5.

נקודה נוספת שיש לזכור היא שרצף יכול להיות סופי או אינסופי.

דרכים להגדרת רצף

ישנן בעיקר שלוש דרכים להגדרת רצף:

• הגדרת המונח הכללי שלו: משמעות הדבר היא שהמונח א_נ יהיה שווה לפונקציה של n. לדוגמא: א_נ= 2n + 5. לאחר מכן:

ל₁=2(1)+5=7

ל₂=2(2)+5=9

ל₃=2(3)+5=11

וכך זה ימשיך לאינסוף, כך שהרצף יהיה:

(ל_נ)=(7,9,11,… )

• הגדרת האלמנטים על בסיס מאפיין: המשמעות היא שהרצף יכלול את המספרים העונים על מאפיין מסוים, למשל מכפילים של 5, או מספרים אלה שמסתיימים ב- 7. דוגמה נוספת יכולה להיות מספרים שלמים או זוגיים חיוביים פחות מ- 30, וזה המקרה של רצף סופי.
• כפונקציה של המונח (או המונחים) הקודמים: המונח a מוגדר_נ כפונקציה של א_n-1, למשל, או אפילו כפונקציה של a_n-1 כְּבָר_n-2. במקרה זה, יש להגדיר את האלמנט הראשון. אז בואו נראה מקרה: אם ניקח כנקודת מוצא ש-₁= 4 ו- a_נ= 3 א_n-1+8, אנחנו יכולים לחשב:

ל₂=3(4)+8=20

ל₃=3(20)+8=68

ל₄=3(68)+8=212

אנו ממשיכים בדרך זו עד האינסוף, איתו נקבל את הרצף הבא:

(ל_נ)=(20,68,212,… )