קרטוזיס - מה זה, הגדרה ומושג

הקורטוזיס הוא מדד סטטיסטי הקובע את מידת הריכוז שערכי המשתנה נמצאים סביב האזור המרכזי של התפלגות התדרים. זה ידוע גם כאמצעי מיקוד.

כאשר אנו מודדים משתנה אקראי, באופן כללי, התוצאות בתדירות הגבוהה ביותר הן סביב ממוצע ההתפלגות. בואו נדמיין את גובה התלמידים בכיתה. אם הגובה הממוצע של הכיתה הוא 1.72 ס"מ, הדבר הנורמלי ביותר הוא שגבהים של שאר התלמידים הם סביב ערך זה (עם מידה מסוימת של שונות, אך מבלי להיות גדול מדי). אם זה קורה, התפלגות המשתנה האקראי נחשבת כמופצת כרגיל. אך בהתחשב באינסוף המשתנים שניתן למדוד, זה לא תמיד המקרה.

ישנם כמה משתנים המציגים רמה גבוהה יותר של ריכוז (פחות פיזור) של הערכים סביב הממוצע שלהם ואחרים, להיפך, מציגים רמה נמוכה יותר של ריכוז (פיזור גדול יותר) של ערכיהם סביב ערכם המרכזי. לכן, קורטוזיס מודיע לנו עד כמה הפצה היא מחודדת (ריכוז גבוהה יותר) או שטוחה (ריכוז נמוך יותר).

מדדי נטייה מרכזיתתדירות מצטברת

סוגי קורטוזיס

בהתאם למידת הקורטוזיס, יש לנו שלושה סוגים של התפלגויות:

1. Leptokurtic: יש ריכוז גדול של ערכים סביב הממוצע שלהם (ז₂>3)

2. Mesocúrtic: יש ריכוז נורמלי של ערכים סביב הממוצע שלהם (ז₂=3).

3. Platicúrtica: יש ריכוז נמוך של הערכים סביב הממוצע שלהם (ז₂<3).

מדידות קורטוזיס על פי הנתונים

בהתאם לקיבוץ הנתונים או לא, נעשה שימוש בנוסחה כזו או אחרת.

נתונים לא מקובצים:

נתונים מקובצים בטבלאות תדרים:

נתונים מקובצים במרווחים:

דוגמה לחישוב קורטוזיס עבור נתונים לא מקובצים

נניח שאנחנו רוצים לחשב את הקורטוזיס של ההתפלגות הבאה:

8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.

תחילה אנו מחשבים את ממוצע החשבון (µ), שיהיה 7.69.

לאחר מכן, אנו מחשבים את סטיית התקן, אשר תהיה 2.43.

לאחר שהיו נתונים אלה ולנוחיות בחישוב, ניתן לערוך טבלה לחישוב החלק של המונה (הרגע הרביעי של ההתפלגות). לחישוב הראשון זה יהיה: (Xi-µ) 4 = (8-7.69) 4 = 0.009.

נתונים	(Xi-µ) 4
8	0,0090
5	52,5411
9	2,9243
10	28,3604
12	344,3330
7	0,2297
2	1049,9134
6	8,2020
8	0,0090
9	2,9243
10	28,3604
7	0,2297
7	0,2297
N = 13	∑ = 1.518,27

ברגע שנכין את הטבלה הזו, נצטרך פשוט להחיל את הנוסחה שנחשפה בעבר לקורטוזיס.

ז₂ = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34

במקרה זה שכן ז₂ גדול מ -3, ההתפלגות תהיה לפטוקורטית, ומציגה הצבעה גדולה יותר מהתפלגות הנורמלית.

עודף קורטוזיס

בחלק מהמדריכים, קורטוזיס מוצג כקורטוזיס עודף. במקרה זה הוא מושווה ישירות לזה של ההתפלגות הנורמלית. מכיוון שההתפלגות הנורמלית כוללת קורטוזיס 3, כדי להשיג את העודף, נצטרך להפחית 3 מהתוצאה שלנו.

עודף קורטוזיס = גרם₂-3 = 3,34-3 = 0,34.

פרשנות התוצאה במקרה זה תהיה הבאה:

ז₂-3> 0 -> התפלגות לפטוקורטית.

ז₂-3 = 0 -> התפלגות מזוקורטית (או נורמלית).

ז₂-3 התפלגות פלאטיקוטית.

סטטיסטיקה תיאורית