איחוד אירועים - מה זה, הגדרה ומושג

איחוד האירועים הוא פעולה שתוצאתה מורכבת מכל האירועים האלמנטריים הלא חוזרים ונשנים המשותפים לשתי מערכות או יותר ולא במשותף.

כלומר, בהינתן שתי קבוצות A ו- B, האיחוד של A ו- B ייווצר על ידי כל הסטים הלא חוזרים שיש A ו- B. באופן אינטואיטיבי, ההסתברות לאיחוד האירועים של A ו- B תרמז על תגובה למצב שאלה: מה ההסתברות ש- A יוצא או ש- B יוצא?

הסמל לאיחוד האירועים הוא U. באופן כזה שאם נרצה להבחין מתמטית באיחוד של שני אירועים B ו- D, היינו מבחינים בו כ: B U D.

הכללת איחוד האירועים

עד כה ראינו, והצבענו, על איחוד שני אירועים. לדוגמא, A U B או B U D. אבל מה אם יש לנו שלושה, ארבעה ואפילו מאה אירועים?

זה מה שאנחנו מכנים הכללה, כלומר נוסחה שעוזרת לנו להבחין באיחוד האירועים המבצע במקרים אלה. אם יש לנו 8 אירועים, במקום לכתוב את עשרת האירועים נשתמש בסימון הבא:

במקום לקרוא לכל אירוע A, B או כל אות, אנחנו הולכים להתקשר ל- Yes. S הוא האירוע והמנוי i מציין את המספר. בצורה כזו שנחול על הדוגמה של 10 אירועים את הדברים הבאים:

מה שעשינו הוא ליישם את הסימון הקודם ולפתח אותו. עכשיו לא תמיד נצטרך. במיוחד כשמדובר במספר רב של אירועים.

איחוד של אירועים בלתי-צמודים ולא-מתאחדים

מה שמושג האירועים המפורקים מעיד על כך שלשני אירועים אין שום אלמנט משותף.

כאשר הם אינם מחוברים, פעולת איחוד האירועים היא פשוטה. עליכם להוסיף רק את ההסתברויות של שניהם, כדי להשיג את ההסתברות שאירוע זה או אחר יתרחש. עם זאת, כאשר האירועים אינם נפרדים, יש להוסיף פרט קטן. יש לבטל אלמנטים חוזרים. לדוגמה:

נניח שמרחב תוצאה עובר בין 1 ל -5. האירועים הם כדלקמן:

אירוע א ': (1,2,4) -> 60% הסתברות = 0.6

אירוע B: (1,4,5) -> 60% הסתברות = 0.6

הפעולה A U B, באופן אינטואיטיבי, תהיה להוסיף את האירועים של A ואת האירועים של B, אבל אם נעשה זאת, ההסתברות תהיה 1.2 (0.6 + 0.6). וכפי שאקסיומות ההסתברות מעידות, ההסתברות חייבת להיות תמיד בין 0 ל -1. איך נפתור את זה? הפחתת צומת האירועים A ו- B. כלומר, הסרת האלמנטים החוזרים על עצמם:

A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)

A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)

כשמדובר בהסתברויות, נצטרך:

P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0.6 +0.6 - 0.4 = 0.8 (80%)

אכן, ההסתברות ש 1 או 2 או 4 או 5 תעלה. בהנחה שלכל המספרים יש את אותה ההסתברות לקרות היא 80%.

מבחינה גרפית זה ייראה כך:

נכסי האיחוד לאירועים

איחוד האירועים הוא סוג של פעולה מתמטית. סוגים מסוימים של פעולות הם גם חיבור, חיסור, כפל. לכל אחד מהם סדרת מאפיינים. לדוגמא, אנו יודעים שהתוצאה של הוספת 3 + 4 זהה לחלוטין לזו של הוספת 4 +3. בשלב זה, לאיגוד האירועים יש כמה נכסים שכדאי לדעת:

• חִלוּפִי: פירוש הדבר שסדר כתיבתו אינו משנה את התוצאה. לדוגמה:
  • A U B = B U A
  • C U D = D U C
• אסוציאטיבי: בהנחה שיש שלושה אירועים, לא אכפת לנו איזה מהם לעשות קודם ואיזה לעשות אחר כך. לדוגמה:
  • (A U B) U C = A U (B U C)
  • (A U C) U B = (A U B) U C
• מפיץ: כאשר אנו כוללים את סוג הפעולה בצומת, הנכס החלוקתי מתקיים. רק תסתכל על הדוגמה הבאה:
  • A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

דוגמה לאיחוד אירועים

דוגמה פשוטה לאיחוד שני האירועים A ו- B תהיה הבאה. נניח המקרה של הטלת המוות המושלם. מת שיש לו שש פנים ממוספרים מ -1 עד 6. באופן שהאירועים מוגדרים להלן:

ל: שהוא גדול מ- 2. בהסתברות (3,4,5,6) הוא 4/6 => P (A) = 0.67

ג: תן לחמישה לצאת. (5) בהסתברות הוא 1/6 => P (C) = 0.17

מה ההסתברות ל- A U C?

P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)

מכיוון שכבר יש ל- P (A) ו- P (C), אנו הולכים לחשב את P (A ∩ C)

A ∩ C = (5) בהסתברויות P (A ∩ C) = 1/6 = 0.17

התוצאה הסופית היא:

P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0.67 + 0.17 - 0.17 = 0.67 (67%)

ההסתברות שהיא תתגלגל יותר מ -2 או שהיא תגלגל 5 היא 67%.