שילוב ליניארי של וקטורים מתרחש כאשר וקטור יכול לבוא לידי ביטוי כפונקציה לינארית של וקטורים אחרים שאינם תלויים באופן ליניארי.
במילים אחרות, השילוב הליניארי של הווקטורים הוא כי וקטור יכול לבוא לידי ביטוי כשילוב ליניארי של ווקטורים אחרים שאינם תלויים זה בזה.
דרישות לשילוב לינארי של וקטורים
השילוב הליניארי של הווקטורים חייב לעמוד בשתי דרישות:
- כי וקטור יכול לבוא לידי ביטוי כשילוב לינארי של וקטורים אחרים.
- תנו לווקטורים האחרים הללו להיות בלתי תלויים זה בזה.
שילוב לינארי בחשבון
במתמטיקה בסיסית אנו רגילים לראות לעתים קרובות צירופים לינאריים מבלי להבין זאת. לדוגמא, שורה היא שילוב של משתנה אחד ביחס לשני, כך ש:
אך שורשים, לוגריתמים, פונקציות אקספוננציאליות … אינם עוד שילובים לינאריים מכיוון שהפרופורציות אינן נשארות קבועות במשך כל הפונקציה:
לכן, אם אנחנו מדברים על שילוב לינארי של וקטורים, מבנה המשוואה יהיה בצורה הבאה:
כשמדברים על וקטורים והמשוואה הקודמת מתייחסת למשתנים, כדי לבנות את שילוב הווקטורים עלינו להחליף את המשתנים רק בווקטורים. תנו לווקטורים הבאים להיות:
אז נוכל לכתוב אותם כצירוף ליניארי כדלקמן:
הווקטורים הם בלתי תלויים זה בזה.
מכתב יווני למבדה משמש כפרמטר M במשוואה הכללית של הקו. למבדה יהיה מספר ממשי, ואם הוא לא מופיע, אומרים שערכו שווה ל -1.
זה שהווקטורים אינם תלויים באופן לינארי פירושו שאף אחד מהווקטורים לא יכול לבוא לידי ביטוי כשילוב לינארי של האחרים. ידוע כי הווקטורים העצמאיים מהווים בסיס למרחב והווקטור התלוי שייך גם הוא למרחב זה.
דוגמה מקבילית
אנו מניחים שיש לנו שלושה וקטורים ואנחנו רוצים לבטא אותם כשילוב לינארי. אנו יודעים גם כי כל וקטור מגיע מאותו קודקוד ומהווה את אבסיסת קודקוד זה. הדמות הגיאומטרית היא parallelepiped. מכיוון שהם מודיעים לנו שהדמות הגיאומטרית שיוצרים הווקטורים הללו הם אבסיקה של מקבילית, אפוא, הווקטורים תוחמים את פני הדמות.
ראשית, עלינו לדעת אם הווקטורים תלויים באופן ליניארי. אם הווקטורים תלויים באופן ליניארי, אז לא נוכל ליצור מהם שילוב לינארי.
שלושה וקטורים:
איך נוכל לדעת אם הווקטורים תלויים באופן ליניארי אם הם לא נותנים לנו מידע על הקואורדינטות שלהם?
ובכן, תוך שימוש בהיגיון. אם הווקטורים היו תלויים באופן ליניארי, אז כל פניהם של המקבילים היו מתמוטטים. במילים אחרות, הם יהיו זהים.
לכן, אנו יכולים לבטא וקטור חדש w כתוצאה מהשילוב הליניארי של הווקטורים הקודמים:
וקטור המייצג את השילוב של הווקטורים הקודמים:
בְּצוּרָה גְרָפִית:
